4.2C orde vibrante :ondes transverses 81
L’intégrationdecette relationdonne
arcsinh( p ) =
x
l c
+ C
et la condition dy/ dx = p = 0en x = 0impose que la constante d’intégration C = 0. La pentelocaledelacorde p est donc
p =
dy
dx
= sinh
x
l c
,
soit
y ( x ) = l c cosh
x
l c
+ Y .
La constante d’intégration Y est déterminée par lesp ointsd ’attache de la
corde : y = 0en x = − D / 2ouen x = D / 2etontrouve
y ( x ) = l c
cosh
x
l c
− cosh
D
2 l c
.
Cette forme est appelée chaînette ou caténaire.Elle aété établie indépendamment par Leibnitz,Huyghens et Bernoulli àlafindu XVII
e
siècle.
On peut maintenant facilement calculer la «flèche » f ,ladéviationmaximale de la
corde par rapportàla ligne horizontalepassant par lespointsd’attache :
f = y (0) = l c
cosh
D
2 l c
− 1
,
et la tensionlelong de la corde
T ( x ) =
T 0
cos u
= T 0 cosh
x
l c
.
Enfin, l’écartdetension entre lespointsd’attache et la flèche est
D T
T 0
=
f
L
Mg
T 0
ce qui indique que pour une corde bien tendue ( f L ), la tension est constantesur
toutelalongueur.
Exemple :t ension descordesd ’instruments
Les cordes de guitare ( figure4.5)sont tendues entre deux pointsdont l’unpermet
de faire varierlatension (la clé) pour accorder l’instrument.Latension des cordes
est de l’ordre de 70 N, chaque corde ayant un diamètre et/ouune densité linéique
différente. Un violon comporte 4cordes tendues àenviron200 N. Pour un piano,
lescordes sont tendues avec des tensions entre 600 et 750 N. L’instrument nécessite
donc un cadreenacier pour éviterles déformations des pièces en bois.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
L’intégrationdecette relationdonne
arcsinh( p ) =
x
l c
+ C
et la condition dy/ dx = p = 0en x = 0impose que la constante d’intégration C = 0. La pentelocaledelacorde p est donc
p =
dy
dx
= sinh
x
l c
,
soit
y ( x ) = l c cosh
x
l c
+ Y .
La constante d’intégration Y est déterminée par lesp ointsd ’attache de la
corde : y = 0en x = − D / 2ouen x = D / 2etontrouve
y ( x ) = l c
cosh
x
l c
− cosh
D
2 l c
.
Cette forme est appelée chaînette ou caténaire.Elle aété établie indépendamment par Leibnitz,Huyghens et Bernoulli àlafindu XVII
e
siècle.
On peut maintenant facilement calculer la «flèche » f ,ladéviationmaximale de la
corde par rapportàla ligne horizontalepassant par lespointsd’attache :
f = y (0) = l c
cosh
D
2 l c
− 1
,
et la tensionlelong de la corde
T ( x ) =
T 0
cos u
= T 0 cosh
x
l c
.
Enfin, l’écartdetension entre lespointsd’attache et la flèche est
D T
T 0
=
f
L
Mg
T 0
ce qui indique que pour une corde bien tendue ( f L ), la tension est constantesur
toutelalongueur.
Exemple :t ension descordesd ’instruments
Les cordes de guitare ( figure4.5)sont tendues entre deux pointsdont l’unpermet
de faire varierlatension (la clé) pour accorder l’instrument.Latension des cordes
est de l’ordre de 70 N, chaque corde ayant un diamètre et/ouune densité linéique
différente. Un violon comporte 4cordes tendues àenviron200 N. Pour un piano,
lescordes sont tendues avec des tensions entre 600 et 750 N. L’instrument nécessite
donc un cadreenacier pour éviterles déformations des pièces en bois.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit