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Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
Avec cette notation, on peut réécrire l’équation(4.5) sous la forme
− dm g + T 0 [tan u ( x + dx) − tan u ( x )] = 0 ,
ou encore
−
Mg
LT 0
+
d
dx
tan u ( x ) = −
Mg
LT 0
+
d u
dx
d tan u
d u
= 0 .
En supposant que l’élément de longueur dx est suffisamment petit pour être assimilé
àunsegment droit, on peut calculer la tangentedel’anglepar
tan u =
dy
dx
,
ce qui donne
d
2
y
dx 2 =
1
l c
1+
dy
dx
2
,
(4.6)
avec une longueur caractéristique
l c =
LT 0
Mg
.
Cette équation, appelée équationdel achaînette,ser ésoud par un changement de
variable( encart4.2)etlaf orme de la corde attachée par deux pointsséparés d’une
distance D est donnée par :
y ( x ) = l c
cosh
x
l c
− cosh
D
2 l c
.
(4.7)
Encart 4.2 Intégration de l’équation de la chaînette
L’équation(4.6) peut s’intégrer après un changement de variable. Posons
p =
dy
dx
,
on adonc
dp
dx
=
1
l c
1+ p 2 ,
puis
dp
1+ p 2
=
dx
l c
.
Chap. 4. Ondes et vibrations mécaniques
Avec cette notation, on peut réécrire l’équation(4.5) sous la forme
− dm g + T 0 [tan u ( x + dx) − tan u ( x )] = 0 ,
ou encore
−
Mg
LT 0
+
d
dx
tan u ( x ) = −
Mg
LT 0
+
d u
dx
d tan u
d u
= 0 .
En supposant que l’élément de longueur dx est suffisamment petit pour être assimilé
àunsegment droit, on peut calculer la tangentedel’anglepar
tan u =
dy
dx
,
ce qui donne
d
2
y
dx 2 =
1
l c
1+
dy
dx
2
,
(4.6)
avec une longueur caractéristique
l c =
LT 0
Mg
.
Cette équation, appelée équationdel achaînette,ser ésoud par un changement de
variable( encart4.2)etlaf orme de la corde attachée par deux pointsséparés d’une
distance D est donnée par :
y ( x ) = l c
cosh
x
l c
− cosh
D
2 l c
.
(4.7)
Encart 4.2 Intégration de l’équation de la chaînette
L’équation(4.6) peut s’intégrer après un changement de variable. Posons
p =
dy
dx
,
on adonc
dp
dx
=
1
l c
1+ p 2 ,
puis
dp
1+ p 2
=
dx
l c
.