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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
vitesse de propagationn’a pas de limite physique. Dans certainscas, on pourra trouverdes vitesses de phase supérieures àlavitesse de la lumière dans le vide !
La vitesse de phase renseigne sur lespropriétésdedispersion du système:
• si v f est une constante, la propagationest non dispersive,t outes lesf réquences
se propagent àlamêmevitesse. Un signalcomposédefréquences multiplesnese
déforme pas lors de la propagation.
• Si la vitesse de phase dépend de la fréquence v f = v f ( v ), le systèmeest dispersif ,
et un signal complexe(composé de plusieursfréquences) se déforme au coursde
la propagation.
3.3 SUPERPOSITIONS ET INTERFÉRENCES
L’équationd’onde étant linéaire,lacombinaisonlinéaire de deux solutions indépendantese st égalementune solution. Lesp ossibilitésd es uperpositions ont donc infinies, mais quelques superpositions classiques méritent un développement.
3.3.1 Superposition de deux ondes planes
Deux ondes planes monochromatiques de même fréquence mais de vecteursd’onde
différentssesuperposent sous la forme:
A = A 1 + A 2
= A 0 cos( k 1 · r − v t )+A 0 cos( k 2 · r − v t + D f ) .
(3.18)
La sommededeux cosinus s’écrit sous la formed’unproduit:
cos u 1 +cos u 2 = 2cos
u 1 + u 2
2
cos
u 1 − u 2
2
,
ce qui donne
A = 2 A 0 cos
1
2
( k 1 − k 2 ) · r −
D f
2
cos
1
2
( k 1 + k 2 ) · r − v t +
D f
2
.
(3.19)
Danslev olume d’intersectionapparaîtune onde de vecteur d’onde
1
2
( k 1 + k 2 )avec
une amplitude modulée par la fonctionc os
1
2
( k 1 − k 2 )
.C eci est illustré surl a
figure3.6.Lasuperposition de deux ondescréeune interférence.Cette interférence
peut être constructive si lesa mplitudes des deux ondes s’ajoutent,oua uc ontraire
destructive si lesamplitudessesoustraient au point de donnerune amplitude résultantenulle.
Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
vitesse de propagationn’a pas de limite physique. Dans certainscas, on pourra trouverdes vitesses de phase supérieures àlavitesse de la lumière dans le vide !
La vitesse de phase renseigne sur lespropriétésdedispersion du système:
• si v f est une constante, la propagationest non dispersive,t outes lesf réquences
se propagent àlamêmevitesse. Un signalcomposédefréquences multiplesnese
déforme pas lors de la propagation.
• Si la vitesse de phase dépend de la fréquence v f = v f ( v ), le systèmeest dispersif ,
et un signal complexe(composé de plusieursfréquences) se déforme au coursde
la propagation.
3.3 SUPERPOSITIONS ET INTERFÉRENCES
L’équationd’onde étant linéaire,lacombinaisonlinéaire de deux solutions indépendantese st égalementune solution. Lesp ossibilitésd es uperpositions ont donc infinies, mais quelques superpositions classiques méritent un développement.
3.3.1 Superposition de deux ondes planes
Deux ondes planes monochromatiques de même fréquence mais de vecteursd’onde
différentssesuperposent sous la forme:
A = A 1 + A 2
= A 0 cos( k 1 · r − v t )+A 0 cos( k 2 · r − v t + D f ) .
(3.18)
La sommededeux cosinus s’écrit sous la formed’unproduit:
cos u 1 +cos u 2 = 2cos
u 1 + u 2
2
cos
u 1 − u 2
2
,
ce qui donne
A = 2 A 0 cos
1
2
( k 1 − k 2 ) · r −
D f
2
cos
1
2
( k 1 + k 2 ) · r − v t +
D f
2
.
(3.19)
Danslev olume d’intersectionapparaîtune onde de vecteur d’onde
1
2
( k 1 + k 2 )avec
une amplitude modulée par la fonctionc os
1
2
( k 1 − k 2 )
.C eci est illustré surl a
figure3.6.Lasuperposition de deux ondescréeune interférence.Cette interférence
peut être constructive si lesa mplitudes des deux ondes s’ajoutent,oua uc ontraire
destructive si lesamplitudessesoustraient au point de donnerune amplitude résultantenulle.