3.2F onction d’onde monochromatique 55
qui sont des variables d’espace associées àdeux référentiels mobilessedéplaçant aux
vitesses + c et − c selon la directionduvecteur k .Les opérateurs ∂
2
/∂x
2
, ∂
2
/∂ y
2
et
∂
2
/∂z
2
se transforment par la même méthode qu’au §3 .1.2, et l’équationd ’onde
devient donc
( k
2
x + k
2
y + k
2
z )
∂
∂ X
+
∂
∂ Y
2
−
∂
∂ X
−
∂
∂ Y
2
= 0 ,
ou encore
( k
2
x + k
2
y + k
2
z − 1)
∂
2
∂ X 2 +
∂
2
∂ Y 2
+2( k
2
x + k
2
y + k
2
z +1)
∂
2
A
∂ X ∂ Y
= 0 .
Comme le vecteur k est unitaire,onretrouvelamême équationintégrable que dans
le cas unidimensionnel :
∂
2
A
∂ X ∂ Y
= 0
et lessolutions générales de cette équationsont des fonctions des seules variables X
ou Y .L as olutiong énéraled el ’équationd ’onde àt rois dimensions (3.10) en coordonnées cartésiennes est donc
A ( x , y , z , t ) = F ( k x x + k y y + k z z − ct)+G ( k x x + k y y + k z z + ct)
= F ( k · r − ct)+G ( k · r + ct)
(3.11)
(3.12)
On retrouvesans difficulté le cas de la propagationàune dimension selonladirection
x en posant k x = 1et k y = k z = 0.
3.2 FONCTION D’ONDE MONOCHROMATIQUE
3.2.1 Propagation àune dimension
L’équationd ’onde est une équationd ifférentielle en temps et en espace. Sans précision supplémentaire,ses solutions sont des fonctions arbitrairesdedeux variables
F ( z − ct)e t G ( z + ct)d ans le cas de la propagationàune dimension. Grâce aux
travaux de JosephFourier(1768–1830), on peut utiliser la propriété suivante :toute
fonctionp ériodique peut être décomposée en une somme de fonctions circulaires
( encart3.1).
Quand la fonctionconsidérée n’est pas périodique, on peut quand même la supposer
périodique en choisissant une période infinie. Dans ce cas, la somme discrèted e
Fourierdevient une intégralesur une base continue de fonctions circulaires. On parle
alorsdelatransforméedeFourierd’une fonction(encart3.2).
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
qui sont des variables d’espace associées àdeux référentiels mobilessedéplaçant aux
vitesses + c et − c selon la directionduvecteur k .Les opérateurs ∂
2
/∂x
2
, ∂
2
/∂ y
2
et
∂
2
/∂z
2
se transforment par la même méthode qu’au §3 .1.2, et l’équationd ’onde
devient donc
( k
2
x + k
2
y + k
2
z )
∂
∂ X
+
∂
∂ Y
2
−
∂
∂ X
−
∂
∂ Y
2
= 0 ,
ou encore
( k
2
x + k
2
y + k
2
z − 1)
∂
2
∂ X 2 +
∂
2
∂ Y 2
+2( k
2
x + k
2
y + k
2
z +1)
∂
2
A
∂ X ∂ Y
= 0 .
Comme le vecteur k est unitaire,onretrouvelamême équationintégrable que dans
le cas unidimensionnel :
∂
2
A
∂ X ∂ Y
= 0
et lessolutions générales de cette équationsont des fonctions des seules variables X
ou Y .L as olutiong énéraled el ’équationd ’onde àt rois dimensions (3.10) en coordonnées cartésiennes est donc
A ( x , y , z , t ) = F ( k x x + k y y + k z z − ct)+G ( k x x + k y y + k z z + ct)
= F ( k · r − ct)+G ( k · r + ct)
(3.11)
(3.12)
On retrouvesans difficulté le cas de la propagationàune dimension selonladirection
x en posant k x = 1et k y = k z = 0.
3.2 FONCTION D’ONDE MONOCHROMATIQUE
3.2.1 Propagation àune dimension
L’équationd ’onde est une équationd ifférentielle en temps et en espace. Sans précision supplémentaire,ses solutions sont des fonctions arbitrairesdedeux variables
F ( z − ct)e t G ( z + ct)d ans le cas de la propagationàune dimension. Grâce aux
travaux de JosephFourier(1768–1830), on peut utiliser la propriété suivante :toute
fonctionp ériodique peut être décomposée en une somme de fonctions circulaires
( encart3.1).
Quand la fonctionconsidérée n’est pas périodique, on peut quand même la supposer
périodique en choisissant une période infinie. Dans ce cas, la somme discrèted e
Fourierdevient une intégralesur une base continue de fonctions circulaires. On parle
alorsdelatransforméedeFourierd’une fonction(encart3.2).
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit