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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
3.1.3 Équation d’onde àtrois dimensions
Dans un espace àtrois dimensions, la fonctiond’onde dépend des trois coordonnées
de l’espace et du temps. Dans un repèrecartésien ( x , y , z ), on note A = A ( x , y , z , t )
et l’équationd’onde simpledevient
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2 +
∂
2
∂ z 2
A −
1
c 2
∂
2
A
∂ t 2 = 0 .
Définitions
• L’opérateur laplacien ,noté D ,est un opérateur de dérivationdusecond ordre
et correspond àladivergence du gradient d’une fonctionscalaire :
D A = div(
grad A ) .
• En coordonnées cartésiennes, le laplacien de la fonction A est
D A =
∂
2
∂ x 2 +
∂
2
∂ y 2 +
∂
2
∂ z 2
A .
Le laplacien en coordonnées cylindriques et sphériques est proposé dans l’annexe A.
Avec ces définitions, l’équationd’onde simpledans un espace àtrois dimensions est
donc
D A −
1
c 2
∂
2
A
∂ t 2 = 0 ,
(3.10)
où l’opérateur laplacien dépend du système de coordonnées choisi.
3.1.4 Solution générale àtrois dimensions
Dans un espace tridimensionnel,o nn ote r le vecteurp osition parr apport àl ’origine et k le vecteur unitaire qui indique la directiond ep ropagationd el ’onde. En
coordonnées cartésiennes, on a
r =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ ,, k =
⎛
⎝
k x
k y
k z
⎞
⎠ , avec k =
k 2
x + k 2
y + k 2
z = 1 .
Paranalogieaveclecas unidimensionnel,onintroduitdeux nouvellesvariables :
X ( x , y , z , t ) = k x x + k y y + k z z − ct,
Y ( x , y , z , t ) = k x x + k y y + k z z + ct,