3.1É quation d’onde simple 53
formemontre que la dérivée de A par rapportàX ne dépend pas de Y ,donc que la
fonction A ne dépend que de X .Laforme générale de la solution A ( X , Y )est donc
la somme de deux fonctions indépendantes qui ne dépendent chacune que d’une
variable, X ou Y :
A ( x , t ) = F ( X )+G ( Y ) = F ( x − ct)+G ( x + ct) .
(3.9)
Les deux fonctions F et G sont des fonctions d’onde arbitraires et ne sont déterminées
que parles conditions auxlimitesetinitialesdusystème.L’équation d’onde simple n’impose aucune formeparticulière pour ces fonctions, du moment qu’ellessont dérivables.
Définitions
• Une fonctiond’onde scalaire est une fonctiondes coordonnées de l’espace et
du temps qui est solutiondel’équationd’onde.
• Une fonctiond’onde vectorielle est un vecteur dont lescomposantes sont des
fonctions des coordonnées de l’espace et du temps qui sont solutions de l’équationd’onde.
• Une onde est longitudinale quand l’amplitude de l’onde est orientée dans la
même directionque sa directiondepropagation.
• Une onde est transverse quandl’amplitude de l’onde est orientée perpendiculairement àsadirectiondepropagation.
Pare xemple, on montre sur la figure3 .2,q u’une fonctione nf orme de bosse se
déplace au coursd ut emps dans la directiond es z croissants. C’est une fonction
F ( x − ct). Une fonction G ( x + ct)e nf orme de créneau se déplace, elle,d ans la
directiondes z décroissants.
x
t
F ( x − ct)
G ( x + ct)
Figure 3.2 Illustration de la propagation de deux solutions de l’équationd’onde
simple.
La fonction G ( x + ct) se propage vers les x décroissantst andisq ue la
fonction F ( x − ct) se propage dansladirectiondes x croissants.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
formemontre que la dérivée de A par rapportàX ne dépend pas de Y ,donc que la
fonction A ne dépend que de X .Laforme générale de la solution A ( X , Y )est donc
la somme de deux fonctions indépendantes qui ne dépendent chacune que d’une
variable, X ou Y :
A ( x , t ) = F ( X )+G ( Y ) = F ( x − ct)+G ( x + ct) .
(3.9)
Les deux fonctions F et G sont des fonctions d’onde arbitraires et ne sont déterminées
que parles conditions auxlimitesetinitialesdusystème.L’équation d’onde simple n’impose aucune formeparticulière pour ces fonctions, du moment qu’ellessont dérivables.
Définitions
• Une fonctiond’onde scalaire est une fonctiondes coordonnées de l’espace et
du temps qui est solutiondel’équationd’onde.
• Une fonctiond’onde vectorielle est un vecteur dont lescomposantes sont des
fonctions des coordonnées de l’espace et du temps qui sont solutions de l’équationd’onde.
• Une onde est longitudinale quand l’amplitude de l’onde est orientée dans la
même directionque sa directiondepropagation.
• Une onde est transverse quandl’amplitude de l’onde est orientée perpendiculairement àsadirectiondepropagation.
Pare xemple, on montre sur la figure3 .2,q u’une fonctione nf orme de bosse se
déplace au coursd ut emps dans la directiond es z croissants. C’est une fonction
F ( x − ct). Une fonction G ( x + ct)e nf orme de créneau se déplace, elle,d ans la
directiondes z décroissants.
x
t
F ( x − ct)
G ( x + ct)
Figure 3.2 Illustration de la propagation de deux solutions de l’équationd’onde
simple.
La fonction G ( x + ct) se propage vers les x décroissantst andisq ue la
fonction F ( x − ct) se propage dansladirectiondes x croissants.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit