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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
3.1.2 Solution générale àune dimension
L’équationd’onde simple(3.5) peut se décomposer sous la forme
∂ A
∂ x
−
1
c
∂ A
∂ t
∂ A
∂ x
+
1
c
∂ A
∂ t
= 0( 3.7)
ou encore
∂
∂ x
−
1
c
∂
∂ t
∂
∂ x
+
1
c
∂
∂ t
A = 0 .
(3.8)
La dernièreformulationdel’équationd’onde montre qu’il existe deux vitesses dans
le système:+ c et − c ,associées àdeux sens de propagationopposés. Pour chercher
des solutions àl’équationd’onde, on introduitdeux nouvellesvariables :
X ( x , t ) = x − ct
Y ( x , t ) = x + ct
qui sont des variables d’espace associées àd eux référentiels mobilesa ux vitesses
+ c et − c respectivement.Dans l’écriture en ( x , t ), le référentielaune positionfixe,
tandisque lesvariables X et Y sont associées àdeux référentiels mobiles.
Leso pérateursded érivationp artielle de l’équationd ’onde (3.5) doivent être transformésetonutilisepour cela:
∂
∂ x
=
∂
∂ X
∂ X
∂ x
+
∂
∂ Y
∂ Y
∂ x
=
∂
∂ X
+
∂
∂ Y
.
De même,latransformationdel’opérateur ∂/∂ t est :
∂
∂ t
=
∂
∂ X
∂ X
∂ t
+
∂
∂ Y
∂ Y
∂ t
= c
∂
∂ Y
−
∂
∂ X
.
Dans l’équation (3.5),nous avons besoindel’opérateurdedérivée seconde en x ,donc :
∂
2
∂ x 2 =
∂
∂ x
2
=
∂
∂ X
+
∂
∂ Y
2
,
et l’opérateur ∂
2
/∂t
2
est
∂
2
∂ t 2 =
∂
∂ t
2
= c
2
∂
∂ Y
−
∂
∂ X
2
.
Parcechangement de variables,l’équation(3.5) devient une équationintégrable :
∂
2
A
∂ X ∂ Y
forme1
=
∂
∂ X
∂ A
∂ Y
forme2
=
∂
∂ Y
∂ A
∂ X
forme3
= 0 .
La deuxième formed ec ette équationm ontre que la dérivée de A par rapportàY
ne dépend pas de X ,donc que la fonction A ne dépend que de Y .Maislatroisième