3.1É quation d’onde simple 51
Si l’écart d x est suffisamment petit parrapport àlataille macroscopique du système,
on peut calculerles amplitudesdes oscillateurs voisinspar un développement limité :
A i +1 = A ( x + d x ) = A ( x )+d x
∂ A
∂ x
+
( d x )
2
2
∂
2
A
∂ x 2
+ ···
(3.2)
A i − 1 = A ( x − d x ) = A ( x ) − d x
∂ A
∂ x
+
( d x )
2
2
∂
2
A
∂ x 2
+ ··· (3.3)
et la somme des équations (3.2) et (3.3) correspond àl ’expression discrèted el a
dérivée seconde en x de la fonction A ( x , t ):
∂
2
A
∂ x 2 =
1
( d x ) 2 [ A ( x + d x , t ) − 2 A ( x , t )+A ( x − d x , t ) ] .
(3.4)
Cette expression est le calcul en différences finiesdul aplacien àune dimension de
la fonction A ( x , t ).
Dans la limite où d x → 0, l’équation(3.1) s’écrit donc :
∂
2
A
∂ x 2 −
1
v 2
c d x 2
∂
2
A
∂ t 2 = 0 ,
et la quantité v
2
c d x
2
étant homogène au carré d’une vitesse, on a
∂
2
A
∂ x 2 −
1
c 2
∂
2
A
∂ t 2 = 0 ,
(3.5)
avec une vitesse
c = v c d x .
(3.6)
Cette équationest une équationd’onde simple ,équationdifférentielle d’ordre2en
espace et d’ordre2en temps. Elle est également appelée équationded’Alembertet
on noteparfois
∂
2
∂ x 2 −
1
c 2
∂
2
∂ t 2
A = A = 0
avec l’opérateurded’Alembert.
La simplicité de cette équation est liéea uc hoix du modèle utilisé pour
l’établir :danslachaînelinéaire desoscillateursidentiques, lesforces de
dissipationnesont pas prises en compte. L’énergietotaledusystème est
donc conservée.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit