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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
3.1 ÉQUATION D’ONDE SIMPLE
3.1.1 Équationd’onde àune dimension
Quandlenombre d’oscillateurs couplés N tend vers l’infini, il n’est plus possiblede
décrire individuellement chaque oscillateurqui composeune chaîne.Lesystème physique devient continu, et la descriptiondiscrètepar un nombreentier i = 1 ,..., N
doitêtre remplacée par une descriptioncontinue indexée par une variabled’espace.
Si les N oscillateurss ont àl ’équilibre séparés d’une distance d x ,c omme illustré
sur la figure3.1,onpeut proposer de remplacer l’amplitude de chaque oscillateur —
indexée par le nombree ntier i —p ar la valeur d’une fonctionc ontinue qui prend
cette valeur àlapositiondel’oscillateur :
A i ( t ) = A ( x , t ) .
Lesoscillateursvoisins i − 1et i +1ont comme amplitudes
A i − 1 ( t ) = A ( x − d x , t )e t A i +1 ( t ) = A ( x + d x , t ) ,
et l’équationdemouvement(2.41) de l’oscillateur i établie au chapitre précédent
d
2
A i
dt 2 − v
2
c ( A i +1 − 2 A i + A i − 1 ) = 0( 3.1)
devientdonc
d
2
A ( x , t )
dt 2
− v
2
c [ A ( x + d x , t ) − 2 A ( x , t )+A ( x − d x , t ) ] = 0 .
x − 2 δx
x +2δx
x + δx
x − δx
x
k
m
A ( x − δx)
A ( x − 2 δx)
A ( x +2δx)
A ( x + δx)
A ( x )
i
i − 1
i − 2
i +2
i +1
Figure 3.1 Chaîne linéaire d’un grandn ombred’oscillateurs identiques.
Chaque oscillateur interagitavecses deuxproches voisinspar un couplage
identique.