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Chap. 3. L’équation d’onde simple et ses solutions
Encart 3.1 Décomposition de fonctions périodiques en séries de
Fourier
Toutef onction f ( t ) t -périodique de période t peut se décomposer sous la
forme d’une somme
f ( t ) = a 0 +
+ ∞
n = 1
a n cos n v 0 t + b n sin n v 0 t ,
avec v 0 = 2 p / t ,et n un entiersupérieur ou égal à1.Les coefficients a n et b n
dépendent de la fréquenceetl’ensembledeces coefficientsconstituelespectre
de Fourierdelafonction f .Lapluspetite fréquenceest n 0 = 1 / t ;cette valeur
estégalement l’écartentre deux fréquences voisines : n n +1 − n n = 1 / t .Une
autre écriture est :
f ( t ) = a 0 +
+ ∞
n = 1
a
n cos( n v 0 t − f n ) ,
avec a
n =
a 2
n + b 2
n et tan f n = b n / a n .Une troisième écriture est sous forme
complexe:
f ( t ) =
n = + ∞
n = −∞
c n exp(inv 0 t ) ,
avec | c n | = a
n / 2etarg( c n ) = − f n .
De même, toutef onction F ( X ) x -périodique de longueur d’onde l peut se
décomposer sous la formed’une somme :
F ( X ) = a 0 +
+ ∞
n = 1
a n cos nk 0 X + b n sin nk 0 X
=
n = + ∞
n = −∞
c n exp(ink 0 X )
avec k 0 = 2 p / l ,et n un entiersupérieur ou égal à1.
Encart 3.2 La transformée de Fourier d’une fonction
Quand une fonctiontemporelle f ( t )n’est pas périodique dans le domaine de
mesure, on peut la considérer t -périodique en considérant une période t →∞.