2.3O scillateur harmonique non amorti 25
une formefermée :lesystème retrouveson état après chaque intervalle de temps égal
àlapériode t .
L’équation(2.16) aété obtenue pour des systèmes idéaux, en l’absence de dissipation
d’énergie. La courbe fermée du portrait de phasemontre non seulement la périodicité
de l’oscillateur,maiségalement la conservationdel’énergie totale du système.
2.3.2 Conservation de l’énergie totale
Une énergieacomme dimension ML
2
T
− 2
et l’unité SI associéest le joule(J).Pour
construire une énergieàpartir de l’équation( 2.16),i le st plus aisé de reveniràun
modèle mécanique, pare xemple le système masse-ressort. L’amplitude A désigne
donc l’allongement du ressort x parrapport àsaposition d’équilibre.
L’équation( 2.16) met en relationl ’amplitude A et l’accéleration d
2
A / dt
2
.O npeut
faire apparaître la vitesse ˙
A en écrivant :
d ˙
A
dt
+ v
2
0 A = 0 .
En multipliant par m ˙
A ,ona:
m ˙
A
d ˙
A
dt
+ m v
2
0
˙
AA = 0 ,
puisenintégrantune fois par rapportautemps, on obtient :
1
2
m ˙
A
2
+
1
2
m v
2
0 A
2
= E ,
(2.19)
où E est une constante, l’énergietotaledusystème.
En réintroduisant la masse m et la raideur k ,etenposant A = x et v = dx/ dt on a:
1
2
m v
2
+
1
2
kx
2
= E c + E p = E .
(2.20)
soit la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle écritessous une forme
traditionnelle.
Au coursd um ouvemento scillatoire,l ’énergie effectue un va-et-vient :e ns ’éloignant de la positiond ’équilibre stable,l es ystème ralentit jusqu’àl ’arrêtc omplet
avec une énergiep otentielle maximum. Au contraire,a up assage au point d’équilibre,l avitesse —donc l’énergiecinétique —est maximaleetl’énergiepotentielle
est nulle.
La solutionétant périodique de période t ,onpeut calculer la moyenne temporelle de
l’énergie:
E t =
1
t
t
0
1
2
m ˙
A
2
dt +
1
t
t
0
1
2
m v
2
0 A
2
dt,
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