24
Chap. 2. Les oscillateurs
où lesconstantes A 1 et A 2 sont déterminées parles conditions initiales(t = 0) :
A 1 =
1
2
A 0 − i
˙
A 0
v 0
,
A 2 =
1
2
A 0 + i
˙
A 0
v 0
.
Finalement,après réarrangement,lasolutiongénéraleest
A ( t ) = A 0 cos v 0 t +
˙
A 0
v 0
sin v 0 t .
(2.17)
Cette solutionpeutégalement s’écrire sous la forme d’une seule fonctioncirculaire,
mais avec une phase initiale f 0 :
A ( t ) = A
1 cos( v 0 t + f 0 ) .
(2.18)
Graphiquement, l’amplitude décrit une sinusoïde de période 2 p / v 0 ( figure2.6a)et
la vitesse montre la même forme, mais avec un décalage temporel (und éphasage)
de t / 2( figure2 .6b). Une autre façon de représenter graphiquement l’évolutiond e
l’oscillateur consiste àt racer la vitesse ˙
A en fonctiond el ’amplitude A :c ’est le
portraitd ep hase ( figure2 .6c). La propriété principaled ec et racé est de montrer
A ( t )
A ( t )
˙
A ( t )
˙
A ( t )
t
t
t =0
t =
τ
4
t =
3 τ
4
t =
τ
2
2 τ
3 τ
τ
2 τ
3 τ
τ
A 0
( a )
(b)
(c)
Figure 2.6
Au coursdutemps,l’amplitude (a) d’un oscillateur nonamorti décrit une
courbe sinusoïdale, de mêmeq ue sa vitesse (b).C es deuxc ourbess ont
décaléesd ’une demi-période t / 2 ,c eq ui correspondàu nd éphasage de
p .S io nt race la vitesse ˙
A ( t ) en fonction de l’amplitude A ( t ) ,l ep ortrait
de phasee st unec ourbe fermée (c) .L es conditionsi nitiales sont une
amplitude nonn ulle A 0 = 0 et unevitesse nulle ˙
A 0 = 0 .