2.2Q uatree xemples d’oscillateurs 19
Les fonctions circulairesont comme développement àl’ordre au voisinage de
x = 0:
sin u =
n
j = 0
( − 1)
j
(2 j +1)!
u
2 j +1
,
cos u =
n
j = 0
( − 1)
j
(2 j )!
u
2 j
.
Grâce au développement (2.7),une équationnon linéaire (par exemplel’équationd up endule2 .6) peut être linéarisée autour d’un point particulier. Une
équationest dite linéaire pour une variableouune fonction x si toutecombinaisonlinéaire de deux solutions x 1 et x 2 indépendantes formeune solution.
En ne gardant que le premier termed ec ed éveloppement,o nf aitl ’approximation
sin u ≈ u ,etl’équationdumouvement est alorsrendue linéaire,maisrestreinte aux
petitesoscillations :
d
2
u
dt 2 + v
2
0 u = 0 .
(2.8)
L’hypothèse d’une petite oscillation est dans la pratique difficile àformuler, car celadépend de la précisionchoisie. Si on accepteune erreur d’un
pour-cent dans le développement sin u ≈ u ,c elac orrespond àu nangle
u < 0 , 25 rad, soitunmaximum de 14 degrés.
Encart 2.2 Mesuredutemps
La fréquence d’un pendulepesant ne dépend que de sa longueur.Ainsi,unpenduled’une exactelongueur de 9 , 81/ p
2
= 99,4cmoscille avec une période
de deux secondes. Comme le pendulep asse deux fois par période au point
d’équilibre,onpeutdéfinir la seconde comme l’intervalle de temps entre deux
passages successifs au point d’équilibre d’un pendule de cette longueur.
2.2.3 Oscillateur électronique
L’oscillateur électronique le plus simple est composéd ed euxd ipôles:une inductance idéaleetuncondensateur ( figure2.4). Cetoscillateur est idéal car il n’yapas
de perte.D ansl ar éalité,l ar ésistance desc onducteurs et desc ontactsi nduit une
perte d’énergie sous formedechaleur (l’effet Joule).Une modélisationplusréaliste
comporte une résistance en série R .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
Les fonctions circulairesont comme développement àl’ordre au voisinage de
x = 0:
sin u =
n
j = 0
( − 1)
j
(2 j +1)!
u
2 j +1
,
cos u =
n
j = 0
( − 1)
j
(2 j )!
u
2 j
.
Grâce au développement (2.7),une équationnon linéaire (par exemplel’équationd up endule2 .6) peut être linéarisée autour d’un point particulier. Une
équationest dite linéaire pour une variableouune fonction x si toutecombinaisonlinéaire de deux solutions x 1 et x 2 indépendantes formeune solution.
En ne gardant que le premier termed ec ed éveloppement,o nf aitl ’approximation
sin u ≈ u ,etl’équationdumouvement est alorsrendue linéaire,maisrestreinte aux
petitesoscillations :
d
2
u
dt 2 + v
2
0 u = 0 .
(2.8)
L’hypothèse d’une petite oscillation est dans la pratique difficile àformuler, car celadépend de la précisionchoisie. Si on accepteune erreur d’un
pour-cent dans le développement sin u ≈ u ,c elac orrespond àu nangle
u < 0 , 25 rad, soitunmaximum de 14 degrés.
Encart 2.2 Mesuredutemps
La fréquence d’un pendulepesant ne dépend que de sa longueur.Ainsi,unpenduled’une exactelongueur de 9 , 81/ p
2
= 99,4cmoscille avec une période
de deux secondes. Comme le pendulep asse deux fois par période au point
d’équilibre,onpeutdéfinir la seconde comme l’intervalle de temps entre deux
passages successifs au point d’équilibre d’un pendule de cette longueur.
2.2.3 Oscillateur électronique
L’oscillateur électronique le plus simple est composéd ed euxd ipôles:une inductance idéaleetuncondensateur ( figure2.4). Cetoscillateur est idéal car il n’yapas
de perte.D ansl ar éalité,l ar ésistance desc onducteurs et desc ontactsi nduit une
perte d’énergie sous formedechaleur (l’effet Joule).Une modélisationplusréaliste
comporte une résistance en série R .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit