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Chap. 2. Les oscillateurs
P = mm g
T
θ
g
Figure 2.3 Définitiond es paramètres pour le pendule simple.
Comme dans l’exempledus ystèmemasse-ressort, le seul coefficient de l’équation,
g / l ,est homogène au carré d’une pulsation:
g
l
=
L . T
− 2
L
= T
− 2
,
et l’équationdupendules’écrit
d
2
u
dt 2 + v
2
0 sin u = 0 , avec v 0 =
g
l
.
(2.6)
La projectiondelaforce de pesanteur surl’axe donne un termeensin u .L ’équation
du pendules implee st donc nonl inéaire .S io nl imite le mouvementa ux petites
oscillations ( u 1), on peut utiliser un développement de la fonction sinus en série
de Taylor :
sin u = u −
u
3
3!
+
u
5
5!
+ ··· , u 1 .
Encart 2.1 Développement de fonctions en sériee tl inéarisation
d’équations
Toutes lesfonctions peuvent être développées en polynômeautour d’un point,
sous réserve qu’ellessoient dérivables. Soit f ( x )une fonctionet x 0 un point
autour duquel on chercheundéveloppement,appelédéveloppement de TaylorYo ung. Le développement est
f ( x ) x ≈ x 0 = f ( x 0 )+
∞
n = 1
1
n !
d
n
f
dx n
( x 0 )(x − x 0 )
n
(2.7)