A.5R elations utiles 223
Gradient
• En coordonnées cartésiennes :
grad f =
∇ f =
⎛
⎝
∂ f /∂x
∂ f /∂ y
∂ f /∂z
⎞
⎠
• En coordonnées cylindriques :
grad f =
∂ f
∂ r
e r +
1
r
∂ f
∂ u
e u +
∂ f
∂ z
e z
• En coordonnées sphériques :
grad f =
∂ f
∂ r
e r +
1
r sin w
∂ f
∂ u
e u +
1
r
∂ f
∂ w
e w
Laplacien
L’opérateur laplacien D est égal àladivergence du gradient d’une fonctionscalaire
f ( r ).
• En coordonnées cartésiennes :
D f = div(
grad
A ) =
∇·
∇ f =
∂
2
f
∂ x 2 +
∂
2
f
∂ y 2 +
∂
2
f
∂ z 2
• En coordonnées cylindriques :
D f =
1
r
∂
∂ r
r
∂ f
∂ r
+
1
r 2
∂
2
f
∂ u 2 +
∂
2
f
∂ z 2
• En coordonnées sphériques :
D f =
1
r
∂
2
∂ r 2 ( rf)+
1
r 2 sin w
∂
∂ w
sin w
∂ f
∂ w
+
1
r 2 sin
2
w
∂
2
f
∂ u 2
A.5 RELATIONS UTILES
div(
rot
A ) = 0( A.1)
rot(
grad f ) = 0( A.2)
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