8.2O scillations de relaxation 205
fréquence. Et contrairement àunoscillateur,c’est l’amplitude de l’oscillateur de
relaxationqui est fixée par construction.
La fréquenced ’oscillationd ur éservoir de Tantalee st décrite parl ar elation( 8.3)
calculéeci-après. Cette fréquencevarie en fonctiondudébit d’alimentation Q E mais
également en fonctiondes positions de l’entréeetdusommet du siphon.
Encart 8.1 Modélisation du réservoirdeT antale
Durantl ap hase de remplissage,s iphon désamorcé, la variationd en iveau
d’eau dans le réservoir est telle que dz/ dt = Q E / S R ,o ù Q E est le débit
d’alimentation, et S R la sectionduréservoir.Comme le niveau varie entre z 1
et z 2 ,l av ariationduniveau d’eau est z r ( t ) = z 1 +(Q E / S R ) t et la durée du
remplissage est
t r =
S R
Q E
( z 2 − z 1 ) .
Durantlaphase de vidange ,l’eau s’évacue par le siphon àune vitesse v T mais
le remplissage continue. La variationdeniveau est donc
dz/ dt = Q E / S R − ( S S / S R ) v S ,
où S S est la sectiondusiphon. Le problème de la vidange est relié àlarelation
entre la hauteur d’eau dans le réservoir et la vitesse de vidange. Il est réaliste
de choisirune loidePoiseuille (loid’écoulementd’unliquide visqueux dans
un tuyau) telle que la vitesse v S est proportionnelle àl ah auteur z .E ne ffet,
l’écoulement est créé par une différence de pression D P = r gz entre l’entrée
et la sortie du siphon ( r est la masse volumique du liquide).Silesiphon aune
longueur L et le liquide une viscosité dynamique h ,larelationest
v T =
r gS S h
8 phL
=
h
T S
.
L’équationd ifférentielle pour le niveau d’eau pendant la vidange est donc
dh/ dt = Q E / S R − h / T S dont la solutionest
z = T S
Q E
S R
+
z 2 − T S
Q E
S R
e
− t / T S .
La durée de la vidange est obtenue àl ’instant t = t v telq ue z = z 1 et on
trouve
t v = T S ln
z 2 − T S
Q E
S R
z 1 − T S
Q E
S R
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
fréquence. Et contrairement àunoscillateur,c’est l’amplitude de l’oscillateur de
relaxationqui est fixée par construction.
La fréquenced ’oscillationd ur éservoir de Tantalee st décrite parl ar elation( 8.3)
calculéeci-après. Cette fréquencevarie en fonctiondudébit d’alimentation Q E mais
également en fonctiondes positions de l’entréeetdusommet du siphon.
Encart 8.1 Modélisation du réservoirdeT antale
Durantl ap hase de remplissage,s iphon désamorcé, la variationd en iveau
d’eau dans le réservoir est telle que dz/ dt = Q E / S R ,o ù Q E est le débit
d’alimentation, et S R la sectionduréservoir.Comme le niveau varie entre z 1
et z 2 ,l av ariationduniveau d’eau est z r ( t ) = z 1 +(Q E / S R ) t et la durée du
remplissage est
t r =
S R
Q E
( z 2 − z 1 ) .
Durantlaphase de vidange ,l’eau s’évacue par le siphon àune vitesse v T mais
le remplissage continue. La variationdeniveau est donc
dz/ dt = Q E / S R − ( S S / S R ) v S ,
où S S est la sectiondusiphon. Le problème de la vidange est relié àlarelation
entre la hauteur d’eau dans le réservoir et la vitesse de vidange. Il est réaliste
de choisirune loidePoiseuille (loid’écoulementd’unliquide visqueux dans
un tuyau) telle que la vitesse v S est proportionnelle àl ah auteur z .E ne ffet,
l’écoulement est créé par une différence de pression D P = r gz entre l’entrée
et la sortie du siphon ( r est la masse volumique du liquide).Silesiphon aune
longueur L et le liquide une viscosité dynamique h ,larelationest
v T =
r gS S h
8 phL
=
h
T S
.
L’équationd ifférentielle pour le niveau d’eau pendant la vidange est donc
dh/ dt = Q E / S R − h / T S dont la solutionest
z = T S
Q E
S R
+
z 2 − T S
Q E
S R
e
− t / T S .
La durée de la vidange est obtenue àl ’instant t = t v telq ue z = z 1 et on
trouve
t v = T S ln
z 2 − T S
Q E
S R
z 1 − T S
Q E
S R
.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit