8.1P endule pesant faiblement non linéaire 203
et cette équationest vérifiée àchaque instant t si
v = v 0
1 −
a 2
8
≈ v 0
1 −
a
2
16
,
et
b = −
a
3
24(8 −
9
8 a 2 )
≈−
a
3
192
.
La solutionfaiblement non linéaire est donc de la forme
u ( t ) = a cos v t −
a
3
192
cos3v t avec v = v 0
1 −
a
2
16
.
(8.2)
Le mouvementn’est donc plus harmonique.Eneffet il résulte de la composition de
deux fréquences : v et 3 v .Deplus, la fréquenced’oscillationdépendducoefficient
d’amplitude a :lafréquence diminue quand l’amplitude augmente.
On vérifiec ec alcul par la résolutionn umérique de l’équation( 8.1).L a figure8 .2
comparelasolutionharmonique de l’équationlinéarisée (courbe bleue) àlasolution
faiblement non linéaire (courbe pointillée).Lapériode de la solutionfaiblementnon
linéaire est bien supérieureàla période de la solutionharmonique et cette solution
est proche de la solutiond el ’équationd up endules imple( 2.6),a vecl et erme en
sin u .L es portraits de phase de ces différentes solutions ( figure8 .2b)sont toujours
des courbes fermées puisqu’on asupposé l’absence de dissipation.
solu tion de l'équ ation
linéaire
solu tion de l'équ ation
complètement non
linéaire
solu tion de l'équ ation
faiblement non linéaire
( a )( b)
Figure 8.2 Comparaison dessolutions pour le pendule pesant
(a) La courbe bleue estl asolutiondel’équationlinéarisée.L ac ourbe en
pointillése st la solutionf aiblement nonl inéaire et la courbe continue
noiree st la solutione xacte complètementn on linéaire. Lesp ortraits de
phase (b) montrent la relation entrel’amplitude A et la vitesse ˙
A .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
et cette équationest vérifiée àchaque instant t si
v = v 0
1 −
a 2
8
≈ v 0
1 −
a
2
16
,
et
b = −
a
3
24(8 −
9
8 a 2 )
≈−
a
3
192
.
La solutionfaiblement non linéaire est donc de la forme
u ( t ) = a cos v t −
a
3
192
cos3v t avec v = v 0
1 −
a
2
16
.
(8.2)
Le mouvementn’est donc plus harmonique.Eneffet il résulte de la composition de
deux fréquences : v et 3 v .Deplus, la fréquenced’oscillationdépendducoefficient
d’amplitude a :lafréquence diminue quand l’amplitude augmente.
On vérifiec ec alcul par la résolutionn umérique de l’équation( 8.1).L a figure8 .2
comparelasolutionharmonique de l’équationlinéarisée (courbe bleue) àlasolution
faiblement non linéaire (courbe pointillée).Lapériode de la solutionfaiblementnon
linéaire est bien supérieureàla période de la solutionharmonique et cette solution
est proche de la solutiond el ’équationd up endules imple( 2.6),a vecl et erme en
sin u .L es portraits de phase de ces différentes solutions ( figure8 .2b)sont toujours
des courbes fermées puisqu’on asupposé l’absence de dissipation.
solu tion de l'équ ation
linéaire
solu tion de l'équ ation
complètement non
linéaire
solu tion de l'équ ation
faiblement non linéaire
( a )( b)
Figure 8.2 Comparaison dessolutions pour le pendule pesant
(a) La courbe bleue estl asolutiondel’équationlinéarisée.L ac ourbe en
pointillése st la solutionf aiblement nonl inéaire et la courbe continue
noiree st la solutione xacte complètementn on linéaire. Lesp ortraits de
phase (b) montrent la relation entrel’amplitude A et la vitesse ˙
A .
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit