202 Chap. 8. Ondes et vibrations nonlinéaires
lesc onditions initiales. Pourtant l’approximation n’est valable que pour lesp etits
angles u 1etcette hypothèse limite considérablementlaplage d’amplitude utile.
Pour de plus grandesamplitudesd’oscillation, on peut tenircompted’unterme supplémentaire dans le développement en série de Taylor :
sin u ≈ u −
u
3
3!
+ O ( u
5
) .
L’apport de ce développement est illustrésur la figure8.1 :leterme cubique donne
unecourbe en cloche qui se rapproche de la courbe sin u (a). L’erreur relative va diverger pour un angleplusimportant que pour le développement du premier ordre(b).
−2
−1
0
1
2
3
0
50 %
−50 %
(a)
(b)
( a )( b)
Figure 8.1 (a) Comparaison de différentes approximationsd elaf onction sin u
autour du point u = 0 . (b) Erreur relative desd euxa pproximations polynômiales.
Avec ce développement àl’ordre 3, l’équationdumouvement du pendulefaiblement
non linéaire est donc
d
2
u
dt 2 = − v
2
0 u + v
2
0
u
3
6
.
(8.1)
L’observation d’un pendule réel montre quemêmepour desamplitudesimportantes
d’oscillation, le mouvementest périodique et resteproched’unmouvementsinusoïdal.S io nc herche des solutions périodiques de la formec os v 0 t ,l ’équation( 8.1)
présente alorsunterme en cos
3
v 0 t .Comme
cos
3
v 0 t =
1
4
cos 3 v 0 t +
3
4
cos v 0 t ,
on va chercher pour l’équation(8.1) une solutiondelaforme
u = a cos v t + b cos 3 v t ,
où a et b sont des coefficientsinconnus.L ’équationfaiblement non linéaire du penduleest donc
− a v
2
+ a v
2
0 −
a
3
8
v
2
0
cos v t +
− 9 b v
2
+ b v
2
0 −
a
3
24
v
2
0
cos 3 v t = 0 .
lesc onditions initiales. Pourtant l’approximation n’est valable que pour lesp etits
angles u 1etcette hypothèse limite considérablementlaplage d’amplitude utile.
Pour de plus grandesamplitudesd’oscillation, on peut tenircompted’unterme supplémentaire dans le développement en série de Taylor :
sin u ≈ u −
u
3
3!
+ O ( u
5
) .
L’apport de ce développement est illustrésur la figure8.1 :leterme cubique donne
unecourbe en cloche qui se rapproche de la courbe sin u (a). L’erreur relative va diverger pour un angleplusimportant que pour le développement du premier ordre(b).
−2
−1
0
1
2
3
0
50 %
−50 %
(a)
(b)
( a )( b)
Figure 8.1 (a) Comparaison de différentes approximationsd elaf onction sin u
autour du point u = 0 . (b) Erreur relative desd euxa pproximations polynômiales.
Avec ce développement àl’ordre 3, l’équationdumouvement du pendulefaiblement
non linéaire est donc
d
2
u
dt 2 = − v
2
0 u + v
2
0
u
3
6
.
(8.1)
L’observation d’un pendule réel montre quemêmepour desamplitudesimportantes
d’oscillation, le mouvementest périodique et resteproched’unmouvementsinusoïdal.S io nc herche des solutions périodiques de la formec os v 0 t ,l ’équation( 8.1)
présente alorsunterme en cos
3
v 0 t .Comme
cos
3
v 0 t =
1
4
cos 3 v 0 t +
3
4
cos v 0 t ,
on va chercher pour l’équation(8.1) une solutiondelaforme
u = a cos v t + b cos 3 v t ,
où a et b sont des coefficientsinconnus.L ’équationfaiblement non linéaire du penduleest donc
− a v
2
+ a v
2
0 −
a
3
8
v
2
0
cos v t +
− 9 b v
2
+ b v
2
0 −
a
3
24
v
2
0
cos 3 v t = 0 .