Exercicesd’approfondissement
9 Le dipôle électrost a tique
Le potentielcréé parledipôleest la somme de deux potentiels créés par lescharges − q
et + q .Ennotant r 1 et r 2 les distances entre ces charges et le point de mesure M ,ona
U ( M ) =
q
4 p ´ 0
1
r 2
−
1
r 1
.
Les distances r 1 et r 2 peuvent être exprimées en fonctiondes coordonnées polaires par
r 1 = r
1+
2 d
r
cos u +
d
2
r 2
1 / 2
, r 2 = r
1 −
2 d
r
cos u +
d
2
r 2
1 / 2
.
Danslecadre d’un développement limité induitpar l’hypthèse r 2 d ,ona
1
r 1
≈
1
r
1 −
2 d
r
cos u
,
1
r 2
≈
1
r
1+
2 d
r
cos u
et le potentielrésultant estdonc
U ( M ) =
qd cos u
2 p ´ 0 r 2 .
On obtient le champ électrique en calculantlegradientdupotentiel:sescomposantes
sont
E r = −
∂ V
∂ r
=
qd cos u
p ´ 0 r 3
et
E u = −
1
r
∂ V
∂ u
=
qd sin u
2 p ´ 0 r 3 .
10 Interférences électroma gnétiques
a . On obtient le champ magnétique par la relation
∂
B 1
∂ t
= −
rot
E 1 = − i k 1 ∧
E 1
ce qui donne
∂
B 1
∂ t
= − ik
⎛
⎝
0
cos u
sin u
⎞
⎠ ∧
⎛
⎝
E 0
0
0
⎞
⎠ e
i ( k 1 · r − v t )
= − ik
E 0
⎛
⎝
0
sin u
− cos u
⎞
⎠ e
i ( k 1 · r − v t )
.
158 Chap. 6. Ondes électromagnétiques