6.7É quation d’onde électromagnétique 145
Ces équations montrent le couplage entre lesc hamps électriques et
magnétiques, en faisant intervenirl ad ensité de charges r c et la densité
de courant j ainsi que deux constantes ´ 0 et m 0 .
6.7 ÉQUATION D’ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
L’équationd’onde électromagnétique est obtenue àpartir des équations de Maxwell.
Le rotationnel de la relationdeMaxwell-Faraday (6.17) donne
rot(
rot
E ) = −
rot
∂
B
∂ t
.
Comme lesvariables d’espace x , y , z et de temps t sont indépendantes, on peut permuter la dérivée temporelle avec l’opérateurrotationnel.D’autre part, le doublerotationnel se transforme grâce àlarelation(A.6) pour donner :
grad (div
E ) − D
E = −
∂
∂ t
(
rot
B ) .
En utilisantlarelationdedivergence(6.15) et la relationdeMaxwell-Ampère(6.18),
on obtient finalement une relationpour le seul champ électrique
D
E −
1
c 2
∂
2
E
∂ t 2 = m 0
∂ j
∂ t
+
1
´ 0
grad r c .
(6.19)
avec une vitesse
c =
1
√
´ 0 m 0
.
(6.20)
De même, le rotationnel de la relation(6.18) donne
rot(
rot
B ) = m 0 (
rot j )+m 0 ´ 0
∂
E
∂ t
,
et,après combinaison avec la relationdedivergence (6.16),larelation(6.17) donne
D
B −
1
c 2
∂
2
B
∂ t 2 = − m 0 (
rot j ) .
(6.21)
Dansl es deux équations de propagation( 6.19) et (6.21) apparaîtl am ême vitesse
c = ( ´ 0 m 0 )
− 1 / 2
.Les champs électrique et magnétique se propagent donc àlamême
vitesse, appelée vitesse de l a lumière ( encart6.2).
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