118 Chap. 5. Ondes dans les fluides :l’acoustique
Les trois équations (5.6),(5.7) et (5.8) remplacent donc leséquations (5.2),(5.4) et
(5.5) et sontmaintenant linéaires.
5.5É QUATION D’ONDE ACOUSTIQUE
En injectantlarelation(5.8) dans la relation(5.6),onobtient
xr 0
∂ p 1
∂ t
+ r 0
∂ v 1
∂ x
= 0( 5.9)
quiavec(5.7) formeunsystème de deux équations pour lesvariables p 1 et v 1 .Enfin,
en dérivant la relation( 5.9) par rapportautemps et en dérivantlarelation( 5.7) par
rapportàla variabled’espace x ,ona
xr 0
∂
2
p 1
∂ t 2 + r 0
∂
2
v 1
∂ x ∂ t
= 0 ,
(5.10)
r 0
∂
2
v 1
∂ x ∂ t
+
∂
2
p 1
∂ x 2 = 0 .
(5.11)
La différence entre ces deux dernières relations permetd’éliminer le termeenvitesse
pourn’obtenirqu’une relationpour la perturbationdepression p 1 qui s’écrit sous la
formed’une équationd’onde
∂
2
p 1
∂ x 2 −
1
c 2
a
∂
2
p 1
∂ t 2 = 0 ,
(5.12)
avec une vitesse de propagation
c a =
1
xr 0
.
(5.13)
On doit remarquer icilaforte analogieentre cette vitesse de propagationetcelle obtenue pour un solideélastique (équationd’onde 4.2, chapitre 4).Eneffet,lecoefficient
de compressibilité n’est rien d’autre quel’inversedumodule élastique E :
x =
1
E
.
La linéarisationd es équations de la mécanique des fluides permet donc d’établir la
loi de propagation desondesdecompression dans un fluide,danslalimite despetites
déformations où on considèrelefl uide comme élastique. Toutefois, il faut garder à
l’esprit la différence fondamentalee ntre la compression d’un solidee tc elle d’un
fluide:lors d’une déformationélastique d’un solide, lesatomesproches voisinssont
lesm êmes au coursd el ad éformation, alorsq ue dans le volume de contrôle d’un
fluide, lesatomes voisinschangent.