5.4L inéarisation des équations de base 117
La théorie de l’acoustique linéaire repose surtrois hypothèses :
• premièrehypothèse :lafluctuationdepression induite par une onde acoustique est
négligeablepar rapportàla pression du fluide au repos ;
• deuxième hypothèse :l afl uctuationd em asse volumique induite par une onde
acoustique est négligeablepar rapportàla masse volumique du fluide au repos ;
• troisième hypothèse :lafluctuation de vitesse du fluide est petite.
ansl as uite,o nv an oter avec un indice 1l es quantitésv ariables et un indice 0l es
quantitésreliées àl’étatd’équilibre.Pour chaque paramètre physique,onvasupposer
que l’influence d’une onde modifie légèrement l’étatdebase et on le formalisedela
façon suivante:
Éta td’équilibre Éta tperturbé
pression
p 0
p = p 0 + c p 1 ( x , t )
masse volumique r 0
r = r 0 + cr 1 ( x , t )
vitesse
v 0 = 0
v = c v 1 ( x , t )
Dans cette notation, on ai ntroduitu np etit paramètre sans dimension c 1q ui
indique qu’il s’agit d’une petite perturbation parr apport àl ’étatd ’équilibre.L es
perturbations p 1 , r 1 et v 1 sont des fonctions de l’espace et du temps.
5.4 LINÉARISATION DES ÉQUATIONS DE BASE
Pour rendreles équations de base linéaires, on considèreque le systèmes’écarte faiblementd el ’étatd ’équilibre.L a méthode desp erturba tions consisteàintroduire
lesdéveloppementsaveclepetit paramètre c dans leséquations de base, puisàdévelopper leséquations comme des polynômes du paramètre numérique c .
Pour l’équationdeconservationdelamasse (5.2),celadonne :
c
0
∂ r 0
∂ t
ordre0
+ c
∂ r 1
∂ t
+ r 0
∂ v 1
∂ x
ordre1
+ c
2
r 1
∂ v 1
∂ x
+ v 1
∂ r 1
∂ x
ordre2
= 0 .
Le termed’ordre 0est nul car la masse volumique dans l’étatdebase r 0 ne dépend pas
du temps, sa dérivée par rapportàt est donc nulle.Comme le paramètre c est petit,
soncarré est encore plus petit, la linéarisation consiste donc ànégligerles termes en
c
2
.A veccette hypothèse, l’équationdeconservationdelamasse se réduità:
∂ r 1
∂ t
+ r 0
∂ v 1
∂ x
= 0 .
(5.6)
La même méthode appliquéeàla conservation de la quantité de mouvementetàla
relationthermodynamique donne
r 0
∂ v 1
∂ t
+
∂ p 1
∂ x
= 0 ,
(5.7)
xr 0 p 1 = r 1 .
(5.8)
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
La théorie de l’acoustique linéaire repose surtrois hypothèses :
• premièrehypothèse :lafluctuationdepression induite par une onde acoustique est
négligeablepar rapportàla pression du fluide au repos ;
• deuxième hypothèse :l afl uctuationd em asse volumique induite par une onde
acoustique est négligeablepar rapportàla masse volumique du fluide au repos ;
• troisième hypothèse :lafluctuation de vitesse du fluide est petite.
ansl as uite,o nv an oter avec un indice 1l es quantitésv ariables et un indice 0l es
quantitésreliées àl’étatd’équilibre.Pour chaque paramètre physique,onvasupposer
que l’influence d’une onde modifie légèrement l’étatdebase et on le formalisedela
façon suivante:
Éta td’équilibre Éta tperturbé
pression
p 0
p = p 0 + c p 1 ( x , t )
masse volumique r 0
r = r 0 + cr 1 ( x , t )
vitesse
v 0 = 0
v = c v 1 ( x , t )
Dans cette notation, on ai ntroduitu np etit paramètre sans dimension c 1q ui
indique qu’il s’agit d’une petite perturbation parr apport àl ’étatd ’équilibre.L es
perturbations p 1 , r 1 et v 1 sont des fonctions de l’espace et du temps.
5.4 LINÉARISATION DES ÉQUATIONS DE BASE
Pour rendreles équations de base linéaires, on considèreque le systèmes’écarte faiblementd el ’étatd ’équilibre.L a méthode desp erturba tions consisteàintroduire
lesdéveloppementsaveclepetit paramètre c dans leséquations de base, puisàdévelopper leséquations comme des polynômes du paramètre numérique c .
Pour l’équationdeconservationdelamasse (5.2),celadonne :
c
0
∂ r 0
∂ t
ordre0
+ c
∂ r 1
∂ t
+ r 0
∂ v 1
∂ x
ordre1
+ c
2
r 1
∂ v 1
∂ x
+ v 1
∂ r 1
∂ x
ordre2
= 0 .
Le termed’ordre 0est nul car la masse volumique dans l’étatdebase r 0 ne dépend pas
du temps, sa dérivée par rapportàt est donc nulle.Comme le paramètre c est petit,
soncarré est encore plus petit, la linéarisation consiste donc ànégligerles termes en
c
2
.A veccette hypothèse, l’équationdeconservationdelamasse se réduità:
∂ r 1
∂ t
+ r 0
∂ v 1
∂ x
= 0 .
(5.6)
La même méthode appliquéeàla conservation de la quantité de mouvementetàla
relationthermodynamique donne
r 0
∂ v 1
∂ t
+
∂ p 1
∂ x
= 0 ,
(5.7)
xr 0 p 1 = r 1 .
(5.8)
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit