116 Chap. 5. Ondes dans les fluides :l’acoustique
contenue dans un volume de contrôle autour du point considéré:
∂ r
∂ t
+div ( r . v ) = 0 .
(5.1)
Quand la masse volumique diminue ( ∂ r /∂t < 0),c’est que lesmolécules de fluide
quittent le volume considéré sans être remplacées. En se limitant àu ne dimension
d’espace, l’équationdeconservationdelamasse s’écrit
∂ r
∂ t
+
∂
∂ x
( r . v x ) = 0 .
(5.2)
La deuxième équationd eb ase est l’équa tiond ec onserv a tiond el a qua ntité de
mouvement.C’est une formelocaledelaloi de Newton appliquée àunpetit volume
de fluide.
∂ v
∂ t
+( v ·
grad ) v = −
1
r
grad p + g .
(5.3)
Iciles deux forces prises en comptesont la forcedepression (le termeen
grad p )et
la forcedegravité.Comme pour la relationprécédente, on se limite àunsystèmeà
une dimension. La conservationdelaquantité de mouvementest alors
∂ v x
∂ t
+ v x .
∂ v x
∂ x
= −
1
r
∂ p
∂ x
.
(5.4)
Enfin la troisième équationest une rel a tionthermodyn a mique qui relie la pression
àlamasse volumique :
dp
d r
=
1
rx
.
(5.5)
Le coefficient x est la compressibilité adiabatique,c’est-à-dire que l’ons’intéresse
àdes variations de pression et de masse volumique maissans changement de température.
Ces trois équations de base (5.2),( 5.4) et (5.5) sont non linéairese tm ontrent des
couplages entre la vitesse locale, la masse volumique localeetlapression locale. Par
exempleleterme v x .∂v x /∂x est un termequadratique en vitesse. Autre exemple, le
terme r . v x de la conservationdel am asse est également un termen on linéaire car
c’est un produitdedeux variables indépendantes.
5.3 HYPOTHÈSES DE L’ACOUSTIQUE LINÉAIRE
Comme pour lesoscillateurs,ilfautdéfinir un état d’équilibre.Pour un fluide,ils’agit
d’un état de repos, avec une pression et une masse volumique homogènes ,c’est-à-dire
égales en tout point de l’espace. Parexemple, pour de l’air àt empératureambiante,
on considèreune masse volumique r 0 = 1 , 3kg · m
− 3
et une pression p 0 = 10
5
Pa.
contenue dans un volume de contrôle autour du point considéré:
∂ r
∂ t
+div ( r . v ) = 0 .
(5.1)
Quand la masse volumique diminue ( ∂ r /∂t < 0),c’est que lesmolécules de fluide
quittent le volume considéré sans être remplacées. En se limitant àu ne dimension
d’espace, l’équationdeconservationdelamasse s’écrit
∂ r
∂ t
+
∂
∂ x
( r . v x ) = 0 .
(5.2)
La deuxième équationd eb ase est l’équa tiond ec onserv a tiond el a qua ntité de
mouvement.C’est une formelocaledelaloi de Newton appliquée àunpetit volume
de fluide.
∂ v
∂ t
+( v ·
grad ) v = −
1
r
grad p + g .
(5.3)
Iciles deux forces prises en comptesont la forcedepression (le termeen
grad p )et
la forcedegravité.Comme pour la relationprécédente, on se limite àunsystèmeà
une dimension. La conservationdelaquantité de mouvementest alors
∂ v x
∂ t
+ v x .
∂ v x
∂ x
= −
1
r
∂ p
∂ x
.
(5.4)
Enfin la troisième équationest une rel a tionthermodyn a mique qui relie la pression
àlamasse volumique :
dp
d r
=
1
rx
.
(5.5)
Le coefficient x est la compressibilité adiabatique,c’est-à-dire que l’ons’intéresse
àdes variations de pression et de masse volumique maissans changement de température.
Ces trois équations de base (5.2),( 5.4) et (5.5) sont non linéairese tm ontrent des
couplages entre la vitesse locale, la masse volumique localeetlapression locale. Par
exempleleterme v x .∂v x /∂x est un termequadratique en vitesse. Autre exemple, le
terme r . v x de la conservationdel am asse est également un termen on linéaire car
c’est un produitdedeux variables indépendantes.
5.3 HYPOTHÈSES DE L’ACOUSTIQUE LINÉAIRE
Comme pour lesoscillateurs,ilfautdéfinir un état d’équilibre.Pour un fluide,ils’agit
d’un état de repos, avec une pression et une masse volumique homogènes ,c’est-à-dire
égales en tout point de l’espace. Parexemple, pour de l’air àt empératureambiante,
on considèreune masse volumique r 0 = 1 , 3kg · m
− 3
et une pression p 0 = 10
5
Pa.