4.4V ibration des poutres 99
limitespour déterminerexplicitement la forme.Ces conditions auxlimitessont choisies àp artir desp ossibilitésd efi xation de la poutre :e xtrémité encastrée, libre ou
simplement posée.
La relation( 4.25) fait intervenirden ombreux paramètres:l’accélérationdel ag ravité g ,lasection S ,lemoduleélastique E et enfin le moment d’inertie de la section I ,
défini ci-après.
Définition
Le moment d’inertie quadratique d’une surface S par rapportàun axeest défini
par
I =
S
y
2
dS
où y est la distance àl’axe de rotationdes pointsformant la surface S .
Un moment d’inertie quadratique acomme dimension L
4
et se mesureenm
4
.
La figure4 .12 montre quelques exemples de momentsd ’inertie pour des poutres
de formes classiques :sections rectangulaire pleine, circulaire pleine, rectangulaire
creuse et poutre en I .
y
W
H
W
w
H
H
h
h
( a )( b)
(c)
( d )
D
I =
πD
4
64
I =
WH
3
12
I =
WH
3
− wh
3
12
I =
WH
3
− wh
3
12
w
2
w
2
Figure4.12 Exemplesd egéométriesd epoutre et du moment d’inertie
correspondant.
(a) section rectangulairepleine, (b) section circulairepleine, (c) section
rectangulairecreuse, (d) profilenI.
Après intégrationdel’équation(4.25),laforme généraled’une poutre est
y ( x ) =
a
24
x
4
+
K 1
6
x
3
+
K 2
2
x
2
+ K 3 x + K 4
où lesconstantes K 1 , K 2 , K 3 et K 4 sont déterminéespar lesconditions aux limitesde
la poutre.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit
limitespour déterminerexplicitement la forme.Ces conditions auxlimitessont choisies àp artir desp ossibilitésd efi xation de la poutre :e xtrémité encastrée, libre ou
simplement posée.
La relation( 4.25) fait intervenirden ombreux paramètres:l’accélérationdel ag ravité g ,lasection S ,lemoduleélastique E et enfin le moment d’inertie de la section I ,
défini ci-après.
Définition
Le moment d’inertie quadratique d’une surface S par rapportàun axeest défini
par
I =
S
y
2
dS
où y est la distance àl’axe de rotationdes pointsformant la surface S .
Un moment d’inertie quadratique acomme dimension L
4
et se mesureenm
4
.
La figure4 .12 montre quelques exemples de momentsd ’inertie pour des poutres
de formes classiques :sections rectangulaire pleine, circulaire pleine, rectangulaire
creuse et poutre en I .
y
W
H
W
w
H
H
h
h
( a )( b)
(c)
( d )
D
I =
πD
4
64
I =
WH
3
12
I =
WH
3
− wh
3
12
I =
WH
3
− wh
3
12
w
2
w
2
Figure4.12 Exemplesd egéométriesd epoutre et du moment d’inertie
correspondant.
(a) section rectangulairepleine, (b) section circulairepleine, (c) section
rectangulairecreuse, (d) profilenI.
Après intégrationdel’équation(4.25),laforme généraled’une poutre est
y ( x ) =
a
24
x
4
+
K 1
6
x
3
+
K 2
2
x
2
+ K 3 x + K 4
où lesconstantes K 1 , K 2 , K 3 et K 4 sont déterminéespar lesconditions aux limitesde
la poutre.
©Dunod –Laphotocopienon autorisée est un délit