•Pour le palet lancé par B , x B 0
= R, y B 0
= 0,
.
x B 0
= – v 0 et
.
y B 0
= 0, donc :
x B (t) = (– v 0 t + R) cost + (Rt) sint
y B (t) = (Rt) cost – (– v 0 t + R) sint
Remarque : Les expressions de X A et Y A (ou X B et Y B ) en fonction du temps étant évidentes, on aurait très bien pu obtenir
x A et y A (ou x B et y B ) à partir de celles-ci par une rotation
d’angle – t autour de (Oz).
Doc. 2
y
x
A
B
CORRIGÉS
Mécanique en référentiel non galiléen
7
94
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Étudions le mouvement d’un palet dans le référentiel lié
au manège (repère (O, x, y, z = Z)), en tenant compte des forces d’inertie :
F ie
➞ = – m i a e = + mr
2 i e r = m
2 (xe
➞
x + ye
➞
y )
F ic
➞ = – 2m e
➞
z ∧ (
.
xe
➞
x +
.
ye
➞
y ) = 2m (
.
ye
➞
x –
.
xe
➞
y )
Les mouvements horizontaux des palets sont alors régis par
les équations couplées :
¨
x – 2
.
y – 2 x = 0
¨
y + 2
.
x – 2 y = 0
Pour l’affixe complexe u = x + iy, il vient :
¨
u + 2i
.
u – 2 u = 0.
Les solutions de l’équation caractéristique associée à cette
équation différentielle d’ordre 2 sont r 1 = – i = r 2 , confondues, donc :
u(t) = (At + B)e
– it
= [(
.
u(0) + i u(0))t + u(0)]e – it
en utilisant les conditions initiales ; ou bien encore :
u(t) = [(
.
x 0 + i
.
y 0 + i x 0 – y 0 )t + x 0 + i y 0 ]e – it
où on identifie :
x(t) = [(
.
x 0 – y 0 )t + x 0 ] cost + [(
.
y 0 + x 0 )t + y 0 ] sint
y(t) = [(
.
y 0 + x 0 )t + y 0 ] cost – [
.
x 0 – y 0 )t + x 0 ] sint
•Pour le palet lancé par A , x A 0
= y A 0
= 0,
.
x A 0
= v 0 et
.
y A 0
= 0, donc :
x A (t) = v 0 t cost
y A (t) = – v 0 t sint
= R, y B 0
= 0,
.
x B 0
= – v 0 et
.
y B 0
= 0, donc :
x B (t) = (– v 0 t + R) cost + (Rt) sint
y B (t) = (Rt) cost – (– v 0 t + R) sint
Remarque : Les expressions de X A et Y A (ou X B et Y B ) en fonction du temps étant évidentes, on aurait très bien pu obtenir
x A et y A (ou x B et y B ) à partir de celles-ci par une rotation
d’angle – t autour de (Oz).
Doc. 2
y
x
A
B
CORRIGÉS
Mécanique en référentiel non galiléen
7
94
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2 • Étudions le mouvement d’un palet dans le référentiel lié
au manège (repère (O, x, y, z = Z)), en tenant compte des forces d’inertie :
F ie
➞ = – m i a e = + mr
2 i e r = m
2 (xe
➞
x + ye
➞
y )
F ic
➞ = – 2m e
➞
z ∧ (
.
xe
➞
x +
.
ye
➞
y ) = 2m (
.
ye
➞
x –
.
xe
➞
y )
Les mouvements horizontaux des palets sont alors régis par
les équations couplées :
¨
x – 2
.
y – 2 x = 0
¨
y + 2
.
x – 2 y = 0
Pour l’affixe complexe u = x + iy, il vient :
¨
u + 2i
.
u – 2 u = 0.
Les solutions de l’équation caractéristique associée à cette
équation différentielle d’ordre 2 sont r 1 = – i = r 2 , confondues, donc :
u(t) = (At + B)e
– it
= [(
.
u(0) + i u(0))t + u(0)]e – it
en utilisant les conditions initiales ; ou bien encore :
u(t) = [(
.
x 0 + i
.
y 0 + i x 0 – y 0 )t + x 0 + i y 0 ]e – it
où on identifie :
x(t) = [(
.
x 0 – y 0 )t + x 0 ] cost + [(
.
y 0 + x 0 )t + y 0 ] sint
y(t) = [(
.
y 0 + x 0 )t + y 0 ] cost – [
.
x 0 – y 0 )t + x 0 ] sint
•Pour le palet lancé par A , x A 0
= y A 0
= 0,
.
x A 0
= v 0 et
.
y A 0
= 0, donc :
x A (t) = v 0 t cost
y A (t) = – v 0 t sint