CORRIGÉS
Mécanique en référentiel non galiléen
7
93
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• F ie
➞ = mw 2 r cosj e
➞
x
• F ic
➞ = 2mw ·
r cosj e
➞
y .
En projection sur u
➞ (pour éliminer R
➞ ), la relation fondamentale de la dynamique donne :
b) La solution de cette équation est de la forme :
r(t) = Ach(Wt) + Bsh(Wt) +
en posant W = w cosj . Compte tenu des conditions initiales,
on obtient :
r(t) = r 0 – ch(Wt) + sh(Wt) +
c) Àl ’équilibre, ·
r = 0 et r
¨ = 0 donc
Cet équilibre est instable : en effet, si on écarte la bille de cette
position d’équilibre, l’équation du mouvement que l’on peut
écrire sous la forme ¨
r = (r – r éq )W 2 prouve que la bille
s’éloignera de sa position d’équilibre.
Perle sur un cercle horizontal
en rotation
1 • Dans le référentiel tournant c , la perle est soumise aux
forces suivantes :
• son poids : P
➞ = mg
➞
= – mge
➞
z ;
• la réaction du cerceau : R
➞ (avec R
➞ . e
➞
q = 0
➞ , car le mouvement a lieu sans frottements) ;
• la force d’inertie d’entraînement : F ie
➞ = mW 2 OM
— ➞ ;
• la force d’inertie de Coriolis: F ic
➞ = – 2mW
➞ ∧ v
➞
/ c
(P).
Dans la base (e
➞
r , e
➞
q , e
➞
z ) : CM
— ➞ = ae
➞
r
OM
— ➞ = OC
— ➞ + CM
— ➞ = a(1 + cosq) e
➞
r – a sinq e
➞
q ,
v
➞
/ c
(M) = a
·
q e
➞
q et a
➞
/ c
(M) = – a
·
q 2 e
➞
r + a ¨
q e
➞
q .
Alors F ic
➞ = 2maW
·
q e
➞
r .
Pour déterminer l’équation du mouvement, on projette la relation fondamentale de la dynamique sur e
➞
q (ce qui a pour effet
d’éliminer la force inconnue R
➞
):
ma ¨
q = – mW 2 a sinq d’où ¨
q + W 2 sinq = 0 .
Remarque
La perle est en équilibre pour q = 0 ou q =π(dans ce cas la
perle est en O , c’est-à-dire sur l’axe de rotation). La position
q = 0 est stable : au voisinage de cette position d’équilibre,
l’équation du mouvement est ¨
q = – W
2 q dont la solution est
sinusoïdale. La position q =π est instable.
Autre méthode
La réaction du support est orthogonale à la vitesse, elle ne travaille donc pas, tout comme la force d’inertie de Coriolis. La
perle reste à altitude constante, donc le poids ne travaille pas
au cours du mouvement. Seule la force d’inertie d’entraînement travaille et elle est conservative.
7
r
g
eq =
sin .
ϕ
Ω
2
g sinj
W 2
v 0
W
g sinj
W 2
g sinj
W 2
••
••
cos
sin
(c os )s in .
mr mr
mg
rr
g
=−
⇔−
=−
ωϕ
ϕω ϕϕ
22
2
On peut donc utiliser la conservation de l’énergie mécanique :
C + P ie = cte . Il reste à déterminer P ie :
δt ie = F ie
➞ . dOM
— ➞ = – mW 2 a sinq a dq
= d(ma 2 W 2 cosq) = –d P ie
avec P ie = – ma 2 W 2 cosq + cte .
L’équation du mouvement est donc :
ma 2 ·
q 2 – ma 2 W 2 cosq = cte ,
ou encore, après dérivation et simplification par :
ma 2 ·
q , ¨
q + W 2 sinq = 0 : c’est la même équation.
2 • La relation fondamentale de la dynamique projetée sur e
➞
r
et sur e
➞
z donne, en posant R
➞ = R r e
➞
r + R z e
➞
z
(R
➞ est orthogonal au cerceau donc à e
➞
q ):
d’où
Jeu de palets sur un manège
1 • Dans le référentiel galiléen lié au sol (repère (O, X, Y, Z)) ,
le mouvement du palet, horizontal, est rectiligne et uniforme :
le poids et la réaction du plan, verticale, se compensent.
• Erreur de A:il lance le palet à vitesse v 0 e
➞
x (t = 0) = v 0 e
➞
x ,
mais oublie que B se déplace par rapport au sol à vitesse
R e
➞
q (initialement R e
➞
y ):Bse trouve par exemple en B
à la date t =
.
• Erreur de B:il lance le palet à vitesse absolue :
– v 0 e
➞
x (t = 0) + R e
➞
(t = 0) = – v 0 e
➞
x + R e
➞
y ,
et rate donc A.
Doc. 1
u
v 0 u
v 0
A
trajectoire du palet
envoyé par B dans le
référentiel fixe (OXY)
trajectoire du palet
envoyé par A dans le
référentiel fixe (OXY)
B
B
R
R
v 0
8
Rm am a
m a
Rm g
r
z
=−
−+
−
=
θ
θ
θ
•
•
(c os )
.
22 12
Ω
Ω
−= ++
+
=−
ma
Rm am a
Rm g
r
z
θ
θ
θ
•
•
(c os )
,
2
2 12
0
Ω
Ω
Mécanique en référentiel non galiléen
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
• F ie
➞ = mw 2 r cosj e
➞
x
• F ic
➞ = 2mw ·
r cosj e
➞
y .
En projection sur u
➞ (pour éliminer R
➞ ), la relation fondamentale de la dynamique donne :
b) La solution de cette équation est de la forme :
r(t) = Ach(Wt) + Bsh(Wt) +
en posant W = w cosj . Compte tenu des conditions initiales,
on obtient :
r(t) = r 0 – ch(Wt) + sh(Wt) +
c) Àl ’équilibre, ·
r = 0 et r
¨ = 0 donc
Cet équilibre est instable : en effet, si on écarte la bille de cette
position d’équilibre, l’équation du mouvement que l’on peut
écrire sous la forme ¨
r = (r – r éq )W 2 prouve que la bille
s’éloignera de sa position d’équilibre.
Perle sur un cercle horizontal
en rotation
1 • Dans le référentiel tournant c , la perle est soumise aux
forces suivantes :
• son poids : P
➞ = mg
➞
= – mge
➞
z ;
• la réaction du cerceau : R
➞ (avec R
➞ . e
➞
q = 0
➞ , car le mouvement a lieu sans frottements) ;
• la force d’inertie d’entraînement : F ie
➞ = mW 2 OM
— ➞ ;
• la force d’inertie de Coriolis: F ic
➞ = – 2mW
➞ ∧ v
➞
/ c
(P).
Dans la base (e
➞
r , e
➞
q , e
➞
z ) : CM
— ➞ = ae
➞
r
OM
— ➞ = OC
— ➞ + CM
— ➞ = a(1 + cosq) e
➞
r – a sinq e
➞
q ,
v
➞
/ c
(M) = a
·
q e
➞
q et a
➞
/ c
(M) = – a
·
q 2 e
➞
r + a ¨
q e
➞
q .
Alors F ic
➞ = 2maW
·
q e
➞
r .
Pour déterminer l’équation du mouvement, on projette la relation fondamentale de la dynamique sur e
➞
q (ce qui a pour effet
d’éliminer la force inconnue R
➞
):
ma ¨
q = – mW 2 a sinq d’où ¨
q + W 2 sinq = 0 .
Remarque
La perle est en équilibre pour q = 0 ou q =π(dans ce cas la
perle est en O , c’est-à-dire sur l’axe de rotation). La position
q = 0 est stable : au voisinage de cette position d’équilibre,
l’équation du mouvement est ¨
q = – W
2 q dont la solution est
sinusoïdale. La position q =π est instable.
Autre méthode
La réaction du support est orthogonale à la vitesse, elle ne travaille donc pas, tout comme la force d’inertie de Coriolis. La
perle reste à altitude constante, donc le poids ne travaille pas
au cours du mouvement. Seule la force d’inertie d’entraînement travaille et elle est conservative.
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r
g
eq =
sin .
ϕ
Ω
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g sinj
W 2
v 0
W
g sinj
W 2
g sinj
W 2
••
••
cos
sin
(c os )s in .
mr mr
mg
rr
g
=−
⇔−
=−
ωϕ
ϕω ϕϕ
22
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On peut donc utiliser la conservation de l’énergie mécanique :
C + P ie = cte . Il reste à déterminer P ie :
δt ie = F ie
➞ . dOM
— ➞ = – mW 2 a sinq a dq
= d(ma 2 W 2 cosq) = –d P ie
avec P ie = – ma 2 W 2 cosq + cte .
L’équation du mouvement est donc :
ma 2 ·
q 2 – ma 2 W 2 cosq = cte ,
ou encore, après dérivation et simplification par :
ma 2 ·
q , ¨
q + W 2 sinq = 0 : c’est la même équation.
2 • La relation fondamentale de la dynamique projetée sur e
➞
r
et sur e
➞
z donne, en posant R
➞ = R r e
➞
r + R z e
➞
z
(R
➞ est orthogonal au cerceau donc à e
➞
q ):
d’où
Jeu de palets sur un manège
1 • Dans le référentiel galiléen lié au sol (repère (O, X, Y, Z)) ,
le mouvement du palet, horizontal, est rectiligne et uniforme :
le poids et la réaction du plan, verticale, se compensent.
• Erreur de A:il lance le palet à vitesse v 0 e
➞
x (t = 0) = v 0 e
➞
x ,
mais oublie que B se déplace par rapport au sol à vitesse
R e
➞
q (initialement R e
➞
y ):Bse trouve par exemple en B
à la date t =
.
• Erreur de B:il lance le palet à vitesse absolue :
– v 0 e
➞
x (t = 0) + R e
➞
(t = 0) = – v 0 e
➞
x + R e
➞
y ,
et rate donc A.
Doc. 1
u
v 0 u
v 0
A
trajectoire du palet
envoyé par B dans le
référentiel fixe (OXY)
trajectoire du palet
envoyé par A dans le
référentiel fixe (OXY)
B
B
R
R
v 0
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Rm am a
m a
Rm g
r
z
=−
−+
−
=
θ
θ
θ
•
•
(c os )
.
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Ω
Ω
−= ++
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=−
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Rm am a
Rm g
r
z
θ
θ
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•
•
(c os )
,
2
2 12
0
Ω
Ω