CORRIGÉS
Mécanique en référentiel non galiléen
7
92
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors :
ma
➞
/ T
(B) = mg
➞
+ R
➞ + mw 2 OP
— ➞ – 2mw e
➞
z ∧ v
➞
/ T
(B)
avec OP
— ➞ = ru
➞
, v
➞
/ T
(B) = ·
ru
➞
et a
➞
/ T
(B) = ¨
ru
➞
.
En projection sur u
➞
, on obtient m¨ r = mw 2 r . La solution est :
La bille sort du tube à l’instant t tel que :
r(t) =
.
Avec v 0 = 0,cette équation devient :
t =
argch = 1,5 s.
2 • a) Le bilan des forces est le même qu’à la question 1)
mais leurs expressions changent :
• P
➞ = – mge
➞
z ;
• R
➞ = R t t
➞ + R x e
➞
x ;
• F ie
➞ = mw 2 ru
➞ , et
• F ic
➞ = – 2mw e
➞
x ∧ ·
ru
➞ = – 2mw ·
rt
➞ .
La relation fondamentale de la dynamique projetée sur u
➞ (ce
qui permet d’éliminer R
➞ ) s’écrit:
m¨ r=– mgsin(wt) + mw 2 r .
b) La solution de cette équation différentielle est la somme de
la solution de l’équation homogène associée r h et d’une solution particulière r p .
r h = Ach(wt) + Bsh(wt) (cf. question 1)) .
On cherche r p sous la forme r p = Csin(w t) (la solution particulière cherchée « ressemble » au second membre de
l’équation différentielle) ; on doit donc avoir :
,
soit
Finalement :
r(t)
avec
.
On en déduit :
r(t)
sin(w t) .
c) La relation fondamentale de la dynamique projetée respectivement sur t
➞ et sur e
➞
x donne :
D’où R
➞ = mgcos(wt) + 2mw w r 0 sh (w t)
+ v 0 – ch(w t ) + cos (w t ) t
➞ .
g
2w
g
2w
0
2
0
=−
−
=
Rm gt
mr
R x
τ
ωω
cos( )
.
•
+
g
2
2
ω
rt
g
t
()
()
=+
−
00
1
2
ch
sh
ω
ωω
ω
v
rA
B
g
00
2
==
+
et v ω
ω
At Bt
g
t
()
()
sin( )
=+
+
ch
sh
ωω
ω
ω
2
2
=
C
g
2
2
ω
.
−= −+
mC
tm gt mC
t
ωω
ωω
ω
2
2
sin( )s in( )s in( )
r 0
1
w
r 0
0
ch
sh
()
()
ωτ ω
ωτ
+=
v
rt rt
t
()
()
() .
=+ 0
0
ch
sh
ω
ω
ω
v
R(t) = || R t t
➞ || = |2mgcos(wt) + 2mw 2 r 0 sh(wt)
+ (2mwv 0 – mg)ch(wt)| .
d) B est en équilibre si, et seulement si, r(t) est constant, ce
qui est parfaitement impossible d’après l’expression établie
au 2) b).
Le mouvement de B est sinusoïdal si les facteurs de sinh(wt)
et de cosh(wt) sont nuls donc si :
e) Les conditions initiales donnent :
r(t) = r 0 (ch(wt) – sh(wt)) +
sin(wt)
.
Au bout d’un temps
l’exponentielle sera négligeable
et seul subsistera le mouvement sinusoïdal.
On a tracé sur le même graphique r(t) et sa partie sinusoïdale :
elles sont très vite confondues.
3 • a) Le bilan des forces est toujours le même. Leurs expressions sont ici :
• P
➞ = – mge
➞
z ;
• R
➞ = R u′ u′
➞ + R y e
➞
y ;
Doc. 2
t
20
15
10
5
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Doc. 1
t
– 20
– 10
0
10
20
agrandissement
5
4
3
2
1
τ
ω
>>
l ,
=−
+
rt
g
t
0
2
2
exp(
)s in( )
ω
ω
ω
g
2w 2
r
g
00 0
2
== et v
ω
.
Mécanique en référentiel non galiléen
7
92
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
La relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors :
ma
➞
/ T
(B) = mg
➞
+ R
➞ + mw 2 OP
— ➞ – 2mw e
➞
z ∧ v
➞
/ T
(B)
avec OP
— ➞ = ru
➞
, v
➞
/ T
(B) = ·
ru
➞
et a
➞
/ T
(B) = ¨
ru
➞
.
En projection sur u
➞
, on obtient m¨ r = mw 2 r . La solution est :
La bille sort du tube à l’instant t tel que :
r(t) =
.
Avec v 0 = 0,cette équation devient :
t =
argch = 1,5 s.
2 • a) Le bilan des forces est le même qu’à la question 1)
mais leurs expressions changent :
• P
➞ = – mge
➞
z ;
• R
➞ = R t t
➞ + R x e
➞
x ;
• F ie
➞ = mw 2 ru
➞ , et
• F ic
➞ = – 2mw e
➞
x ∧ ·
ru
➞ = – 2mw ·
rt
➞ .
La relation fondamentale de la dynamique projetée sur u
➞ (ce
qui permet d’éliminer R
➞ ) s’écrit:
m¨ r=– mgsin(wt) + mw 2 r .
b) La solution de cette équation différentielle est la somme de
la solution de l’équation homogène associée r h et d’une solution particulière r p .
r h = Ach(wt) + Bsh(wt) (cf. question 1)) .
On cherche r p sous la forme r p = Csin(w t) (la solution particulière cherchée « ressemble » au second membre de
l’équation différentielle) ; on doit donc avoir :
,
soit
Finalement :
r(t)
avec
.
On en déduit :
r(t)
sin(w t) .
c) La relation fondamentale de la dynamique projetée respectivement sur t
➞ et sur e
➞
x donne :
D’où R
➞ = mgcos(wt) + 2mw w r 0 sh (w t)
+ v 0 – ch(w t ) + cos (w t ) t
➞ .
g
2w
g
2w
0
2
0
=−
−
=
Rm gt
mr
R x
τ
ωω
cos( )
.
•
+
g
2
2
ω
rt
g
t
()
()
=+
−
00
1
2
ch
sh
ω
ωω
ω
v
rA
B
g
00
2
==
+
et v ω
ω
At Bt
g
t
()
()
sin( )
=+
+
ch
sh
ωω
ω
ω
2
2
=
C
g
2
2
ω
.
−= −+
mC
tm gt mC
t
ωω
ωω
ω
2
2
sin( )s in( )s in( )
r 0
1
w
r 0
0
ch
sh
()
()
ωτ ω
ωτ
+=
v
rt rt
t
()
()
() .
=+ 0
0
ch
sh
ω
ω
ω
v
R(t) = || R t t
➞ || = |2mgcos(wt) + 2mw 2 r 0 sh(wt)
+ (2mwv 0 – mg)ch(wt)| .
d) B est en équilibre si, et seulement si, r(t) est constant, ce
qui est parfaitement impossible d’après l’expression établie
au 2) b).
Le mouvement de B est sinusoïdal si les facteurs de sinh(wt)
et de cosh(wt) sont nuls donc si :
e) Les conditions initiales donnent :
r(t) = r 0 (ch(wt) – sh(wt)) +
sin(wt)
.
Au bout d’un temps
l’exponentielle sera négligeable
et seul subsistera le mouvement sinusoïdal.
On a tracé sur le même graphique r(t) et sa partie sinusoïdale :
elles sont très vite confondues.
3 • a) Le bilan des forces est toujours le même. Leurs expressions sont ici :
• P
➞ = – mge
➞
z ;
• R
➞ = R u′ u′
➞ + R y e
➞
y ;
Doc. 2
t
20
15
10
5
0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Doc. 1
t
– 20
– 10
0
10
20
agrandissement
5
4
3
2
1
τ
ω
>>
l ,
=−
+
rt
g
t
0
2
2
exp(
)s in( )
ω
ω
ω
g
2w 2
r
g
00 0
2
== et v
ω
.