©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
On pose r = || r
➞ || et
À l’instant initial, r = r 0 et v = v 0 .
Les mouvements de la bille ont lieu sans frottements.
1 • Le tube T est dans le plan horizontal (xOy) et tourne autour de l’axe (Oz) , selon le document 1.
Établir l’équation différentielle vérifiée par r(t) . Intégrer
cette équation en tenant compte des conditions initiales.
Établir l’expression du temps t que mettra la bille pour
sortir du tube. Calculer t pour = 0,1 m, r 0 =1c m,
v 0 = 0 m.s –1 et w = 2 rad.s –1 .
2 • Le tube T est dans le plan vertical (yOz) et tourne
autour de l’axe (Ox) selon le document 2. À l’instant t ,
le tube T fait l’angle q = w t avec l’axe (Oy) . On utilisera la base de projection liée au tube : (u
➞ , t
➞ , e
➞
x ) où
u
➞
est tangent au tube, t
➞ est orthogonal à u
➞ dans la
direction des q croissants et e
➞
x = u
➞ ∧ t
➞ . On note R
➞ la
réaction du tube et R = || R
➞ || .
a) Établir l’équation différentielle en r(t) du mouvement
de B .
b) Intégrer cette équation en tenant compte des conditions
initiales.
c) Établir l’expression de R(t) .
d) Discuter des équilibres possibles de B par rapport au
tube. À quelle condition le mouvement est-il sinusoïdal ?
e) Décrire le mouvement pour les conditions initiales liées:
Doc. 2
g
O
P
t u
t τ
ω
z
y
x
q = w t
rr
g r
==
−
00
0
2
et v
ω
ω .
r
r
➞
=
Doc. 1
g
O
P
T
z
y
x
ω
q = w t
v =
d
d
r
t
.
de longueur > h (doc. 1). L’ensemble est en rotation à
vitesse angulaire W constante autour de Oz .
1 • Décrire les positions d’équilibre relatif du pendule suivant les valeurs données à W .
2 • Lorsque la tension d’un fil atteint T max = 50 N, celuici casse. Pour quelle valeur W max cela se produit-il ?
Données :m= 1 kg ; g = 10 m.s − 2 ; = 40 cm et
h = 30 cm .
Bille dans un tube en rotation
D’après ESTP.
Cet exercice représente un peu moins de la moitié d’une
épreuve de concours de 4 heures.
L’exercice envisage différentes situations d’une bille B , de
masse m , quasi ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptible de se déplacer à l’intérieur d’un tube cylindrique
mince T , de longueur 2 , effectuant des mouvements de
rotation caractérisés par une vitesse angulaire w constante
autour d’un axe fixe passant par son centre O .
L’accélération de la pesanteur est g
➞ , de module g constant, dirigée selon la verticale descendante.
La position de B dans le tube est repérée par r
➞ = OP
— ➞ .
6
Doc. 1
2 h
O
z
M
A
EXERCICES
Mécanique en référentiel non galiléen
7
86
Conseils
1) On peut étudier l’équilibre et sa stabilité à l’aide
d’une énergie potentielle adéquate, dans le référentiel
tournant à = cte.
2) Traduire l’équilibre relatif pour déterminer la tension du (ou des) fil(s).
La photocopie non autorisée est un délit.
On pose r = || r
➞ || et
À l’instant initial, r = r 0 et v = v 0 .
Les mouvements de la bille ont lieu sans frottements.
1 • Le tube T est dans le plan horizontal (xOy) et tourne autour de l’axe (Oz) , selon le document 1.
Établir l’équation différentielle vérifiée par r(t) . Intégrer
cette équation en tenant compte des conditions initiales.
Établir l’expression du temps t que mettra la bille pour
sortir du tube. Calculer t pour = 0,1 m, r 0 =1c m,
v 0 = 0 m.s –1 et w = 2 rad.s –1 .
2 • Le tube T est dans le plan vertical (yOz) et tourne
autour de l’axe (Ox) selon le document 2. À l’instant t ,
le tube T fait l’angle q = w t avec l’axe (Oy) . On utilisera la base de projection liée au tube : (u
➞ , t
➞ , e
➞
x ) où
u
➞
est tangent au tube, t
➞ est orthogonal à u
➞ dans la
direction des q croissants et e
➞
x = u
➞ ∧ t
➞ . On note R
➞ la
réaction du tube et R = || R
➞ || .
a) Établir l’équation différentielle en r(t) du mouvement
de B .
b) Intégrer cette équation en tenant compte des conditions
initiales.
c) Établir l’expression de R(t) .
d) Discuter des équilibres possibles de B par rapport au
tube. À quelle condition le mouvement est-il sinusoïdal ?
e) Décrire le mouvement pour les conditions initiales liées:
Doc. 2
g
O
P
t u
t τ
ω
z
y
x
q = w t
rr
g r
==
−
00
0
2
et v
ω
ω .
r
r
➞
=
Doc. 1
g
O
P
T
z
y
x
ω
q = w t
v =
d
d
r
t
.
de longueur > h (doc. 1). L’ensemble est en rotation à
vitesse angulaire W constante autour de Oz .
1 • Décrire les positions d’équilibre relatif du pendule suivant les valeurs données à W .
2 • Lorsque la tension d’un fil atteint T max = 50 N, celuici casse. Pour quelle valeur W max cela se produit-il ?
Données :m= 1 kg ; g = 10 m.s − 2 ; = 40 cm et
h = 30 cm .
Bille dans un tube en rotation
D’après ESTP.
Cet exercice représente un peu moins de la moitié d’une
épreuve de concours de 4 heures.
L’exercice envisage différentes situations d’une bille B , de
masse m , quasi ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptible de se déplacer à l’intérieur d’un tube cylindrique
mince T , de longueur 2 , effectuant des mouvements de
rotation caractérisés par une vitesse angulaire w constante
autour d’un axe fixe passant par son centre O .
L’accélération de la pesanteur est g
➞ , de module g constant, dirigée selon la verticale descendante.
La position de B dans le tube est repérée par r
➞ = OP
— ➞ .
6
Doc. 1
2 h
O
z
M
A
EXERCICES
Mécanique en référentiel non galiléen
7
86
Conseils
1) On peut étudier l’équilibre et sa stabilité à l’aide
d’une énergie potentielle adéquate, dans le référentiel
tournant à = cte.
2) Traduire l’équilibre relatif pour déterminer la tension du (ou des) fil(s).