©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
84
Exercices
Une attraction foraine
sans danger ?
Un des manèges d’une foire foraine est constitué d’un énorme
cylindre vertical qui tourne autour de son axe à la vitesse
angulaire w . Les passagers pénètrent à l’intérieur et s’installent contre la paroi du cylindre. Le cylindre est mis en
rotation, d’abord lentement, puis de plus en plus vite. Quand
la vitesse de rotation w est suffisamment grande, le plancher est retiré et les passagers restent collés contre la paroi
du cylindre.
1 • Expliquer pourquoi les passagers restent collés contre
la paroi. Quelle est la force qui les empêche de tomber ?
Est-ce sans danger ? Que ressent un passager qui essaie de
décoller un bras ou une jambe ?
2 • On appelle µ le coefficient de frottement : les passagers sont immobiles tant que les composantes tangentielles
R T
➞
et normale R N
➞
de la réaction du support vérifient la
relation |R T
➞ | m |R N
➞ | .
Déterminer la valeur minimale de la vitesse de rotation du
cylindre (en fonction du rayon du cylindre a , de g et de
µ) à partir de laquelle on peut retirer le plancher.
3 • A. N. : a = 4 m et µ = 0,4 . Calculer la vitesse minimale de rotation du cylindre en tours par minute.
Équilibre en référentiel tournant
D’après ENAC Pilotes.
Un système est constitué d’une glissière T soudée sur un
bâti mobile autour d’un axe vertical ∆ . Sur la glissière
inclinée d’un angle q fixe par rapport à la verticale est posé
un solide S de masse m qui peut glisser sans frottements
sur T . Ce solide, que l’on peut considérer comme ponctuel, est accroché à un ressort à spires non jointives, de raideur k , de longueur à vide 0 dont l’autre extrémité est
fixée au bâti, selon la figure ci-après.
2
1
1 • Le système est immobile. Calculer la longueur e du
ressort à l’équilibre.
2 • Le système est mis en rotation autour de l’axe ∆ avec
une vitesse angulaire constante w suffisamment faible
pour que S reste au contact de T .
Calculer la réaction R
➞ du bâti sur S quand le ressort a
atteint sa nouvelle longueur d’équilibre ′ e en raisonnant dans le référentiel tournant T lié à la tige.
3 • Calculer la vitesse de rotation du solide w 0 telle que
le solide décolle juste de la glissière quand le ressort a
atteint sa nouvelle longueur d’équilibre ′′ e .
*Équerre oscillante
Une équerre d’inertie négligeable, portant une surcharge de
masse m à sa pointe M (avec AM = ), pivote autour de
l’axe Az fixe, incliné de l’angle a par rapport à la verticale AZ . Le plan xAz est vertical, et on repère la rotation
de l’équerre par l’angle q .
L’effet de frottements fluides est modélisé par un couple de
freinage – l
par rapport à Az .
dq
dt
3
θ
X
Y
T
S
O
e x
e y
D
Conseils
1) Comment doit être dirigée la force qui permet aux
passagers de ne pas tomber ?
2) Projeter la condition d’équilibre relatif des passagers sur le rayon-vecteur et sur l’axe du cylindre pour
exprimer R T
➞ et R N
➞ . La relation |R T
➞ | m |R N
➞ | permet de déterminer la valeur minimale de w .
Conseils
2) Faire l’inventaire des forces qui agissent sur S
quand il est en équilibre dans le référentiel tournant
T . La projection de la relation fondamentale de la
dynamique sur la direction de la tige donne la longueur
du ressort à l’équilibre ; sa projection sur une direction
orthogonale donne la réaction de la tige sur S .
3) Quelle est la valeur de la réaction du support quand
la tige décolle?
La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercices
Une attraction foraine
sans danger ?
Un des manèges d’une foire foraine est constitué d’un énorme
cylindre vertical qui tourne autour de son axe à la vitesse
angulaire w . Les passagers pénètrent à l’intérieur et s’installent contre la paroi du cylindre. Le cylindre est mis en
rotation, d’abord lentement, puis de plus en plus vite. Quand
la vitesse de rotation w est suffisamment grande, le plancher est retiré et les passagers restent collés contre la paroi
du cylindre.
1 • Expliquer pourquoi les passagers restent collés contre
la paroi. Quelle est la force qui les empêche de tomber ?
Est-ce sans danger ? Que ressent un passager qui essaie de
décoller un bras ou une jambe ?
2 • On appelle µ le coefficient de frottement : les passagers sont immobiles tant que les composantes tangentielles
R T
➞
et normale R N
➞
de la réaction du support vérifient la
relation |R T
➞ | m |R N
➞ | .
Déterminer la valeur minimale de la vitesse de rotation du
cylindre (en fonction du rayon du cylindre a , de g et de
µ) à partir de laquelle on peut retirer le plancher.
3 • A. N. : a = 4 m et µ = 0,4 . Calculer la vitesse minimale de rotation du cylindre en tours par minute.
Équilibre en référentiel tournant
D’après ENAC Pilotes.
Un système est constitué d’une glissière T soudée sur un
bâti mobile autour d’un axe vertical ∆ . Sur la glissière
inclinée d’un angle q fixe par rapport à la verticale est posé
un solide S de masse m qui peut glisser sans frottements
sur T . Ce solide, que l’on peut considérer comme ponctuel, est accroché à un ressort à spires non jointives, de raideur k , de longueur à vide 0 dont l’autre extrémité est
fixée au bâti, selon la figure ci-après.
2
1
1 • Le système est immobile. Calculer la longueur e du
ressort à l’équilibre.
2 • Le système est mis en rotation autour de l’axe ∆ avec
une vitesse angulaire constante w suffisamment faible
pour que S reste au contact de T .
Calculer la réaction R
➞ du bâti sur S quand le ressort a
atteint sa nouvelle longueur d’équilibre ′ e en raisonnant dans le référentiel tournant T lié à la tige.
3 • Calculer la vitesse de rotation du solide w 0 telle que
le solide décolle juste de la glissière quand le ressort a
atteint sa nouvelle longueur d’équilibre ′′ e .
*Équerre oscillante
Une équerre d’inertie négligeable, portant une surcharge de
masse m à sa pointe M (avec AM = ), pivote autour de
l’axe Az fixe, incliné de l’angle a par rapport à la verticale AZ . Le plan xAz est vertical, et on repère la rotation
de l’équerre par l’angle q .
L’effet de frottements fluides est modélisé par un couple de
freinage – l
par rapport à Az .
dq
dt
3
θ
X
Y
T
S
O
e x
e y
D
Conseils
1) Comment doit être dirigée la force qui permet aux
passagers de ne pas tomber ?
2) Projeter la condition d’équilibre relatif des passagers sur le rayon-vecteur et sur l’axe du cylindre pour
exprimer R T
➞ et R N
➞ . La relation |R T
➞ | m |R N
➞ | permet de déterminer la valeur minimale de w .
Conseils
2) Faire l’inventaire des forces qui agissent sur S
quand il est en équilibre dans le référentiel tournant
T . La projection de la relation fondamentale de la
dynamique sur la direction de la tige donne la longueur
du ressort à l’équilibre ; sa projection sur une direction
orthogonale donne la réaction de la tige sur S .
3) Quelle est la valeur de la réaction du support quand
la tige décolle?