En notant e = A
➞ et p =
, on obtient bien la conique :
r =.
b) Au périgée :r P =
; à l’apogée :r A =
;
donc :
e ==,
ce qui nous donne :
p =
.
2 • Avance du périhélie
a) Le terme supplémentaire est correctif si V p V ,
soit :
.
Comme L est de l’ordre de mrv , on en déduit
1. La
planète doit avoir une vitesse non relativiste pour traiter le
terme supplémentaire comme une petite perturbation à apporter au mouvement newtonien classique.
Pour la Terre : v T =
30 km/s.
Pour Mercure : v M =
avec
=
(3
e
loi de
Kepler), soit v M 50 km/s.
Dans les deux cas, l’approximation non relativiste est bien
satisfaisante.
b) Pour ce mouvement, la force :
F
➞ = –
V(r) + V p (r) e
➞
r = –
e
➞
r –
e
➞
r
est centrale, et le moment cinétique est une constante du mouvement. On a donc :
=
∧ L
➞
O –
.
q e
➞
q
=
– e
➞
r ∧ L e
➞
z =
e
➞
q
car le résultat donné par le terme newtonien est nul.
En utilisant l’équation polaire (mouvement peu perturbé) de
la trajectoire, il vient :
=
(– sinq e
➞
x + cosq e
➞
y )
et en intégrant sur un tour :
A
➞ =
2π
q =0
.dt =
e
➞
y .
La variation de A
➞ est orthogonale à A
➞ , de module très inférieur à A
➞ : le potentiel perturbateur V p entraîne une déformation de la trajectoire correspondant à une rotation lente du
grand axe de l’ellipse dans son plan.
2πe e
GmM 0 p 2
dA
➞
dt
dq
dt
(1 + e cosq) 2
p 2
e
GmM 0
dA
➞
dt
·
r 2
e
GmM 0
e
r 4
1
Gm 2 M 0
F
➞
m
1
GmM 0
dA
➞
dt
e
r 4
GmM 0
r 2
d
dr
T M
2
R M
3
T T
2
R T
3
2πR M
T M
2πR T
T T
v
c
GmM 0
r
L 2
r 3
GM 0
c 2
2r A r p
r A + r P
r A – p
r A
p – r P
r P
p
1 – e
p
1 + e
p
1 + e cosq
L 2
Gm 2 M 0
c) L’angle ∆f , dont tourne la trajectoire pendant une révolution, est
(il est très faible donc assimilable à sa
tangente). Le module de A
➞ étant aussi l’excentricité de la trajectoire, cette expression se simplifie :
f =
=
=
.
On introduit r A et r P , il vient finalement :
f =
.
Remarque : Mercure n’a pas une vitesse nettement plus
importante que la Terre sur son orbite, mais les distances
caractéristiques r A et r P sont bien plus faibles dans son cas
car c’est la planète la plus proche du Soleil. L’avance de son
périhélie sera donc plus facilement détectable car f est ici
plus important, le phénomène étant également plus rapide
puisque c’est aussi la plus petite période de révolution.
d) En un siècle, le grand axe de l’ellipse atourné de :
dW
L’application numérique donne dW = 2.10 –4 rad = 43,1
secondes d’arc. Cette valeur rentre dans la zone d’incertitude
fournie par l’expérience : la théorie relativiste rend effectivement compte de l’avance du périhélie de Mercure.
Remarque : On observe un phénomène semblable pour les
satellites terrestres, la cause en est tout autre:l’avance du
périgée des satellites est due à l’aplatissement de la Terre aux
pôles, le potentiel gravitationnel n’étant plus exactement
newtonien mais de la forme
le deuxième
terme étant très faible par rapport au premier.
Vm
GM
r
m
r
=−
−
T
ε
3 ,
∆
Ω=100
0
T
T
φ .
r A + r P
r A r P
3πGM 0
C 2
6πGM 0
C 2 p
6πL 2
m 2 C 2 p 2
2πe
GmM 0 p 2
∆
∆
φ =
||
||
|| ||
A
A
➞
➞
A
A
y
x
planète
S
Φ
D D
CORRIGÉS
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
82
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
➞ et p =
, on obtient bien la conique :
r =.
b) Au périgée :r P =
; à l’apogée :r A =
;
donc :
e ==,
ce qui nous donne :
p =
.
2 • Avance du périhélie
a) Le terme supplémentaire est correctif si V p V ,
soit :
.
Comme L est de l’ordre de mrv , on en déduit
1. La
planète doit avoir une vitesse non relativiste pour traiter le
terme supplémentaire comme une petite perturbation à apporter au mouvement newtonien classique.
Pour la Terre : v T =
30 km/s.
Pour Mercure : v M =
avec
=
(3
e
loi de
Kepler), soit v M 50 km/s.
Dans les deux cas, l’approximation non relativiste est bien
satisfaisante.
b) Pour ce mouvement, la force :
F
➞ = –
V(r) + V p (r) e
➞
r = –
e
➞
r –
e
➞
r
est centrale, et le moment cinétique est une constante du mouvement. On a donc :
=
∧ L
➞
O –
.
q e
➞
q
=
– e
➞
r ∧ L e
➞
z =
e
➞
q
car le résultat donné par le terme newtonien est nul.
En utilisant l’équation polaire (mouvement peu perturbé) de
la trajectoire, il vient :
=
(– sinq e
➞
x + cosq e
➞
y )
et en intégrant sur un tour :
A
➞ =
2π
q =0
.dt =
e
➞
y .
La variation de A
➞ est orthogonale à A
➞ , de module très inférieur à A
➞ : le potentiel perturbateur V p entraîne une déformation de la trajectoire correspondant à une rotation lente du
grand axe de l’ellipse dans son plan.
2πe e
GmM 0 p 2
dA
➞
dt
dq
dt
(1 + e cosq) 2
p 2
e
GmM 0
dA
➞
dt
·
r 2
e
GmM 0
e
r 4
1
Gm 2 M 0
F
➞
m
1
GmM 0
dA
➞
dt
e
r 4
GmM 0
r 2
d
dr
T M
2
R M
3
T T
2
R T
3
2πR M
T M
2πR T
T T
v
c
GmM 0
r
L 2
r 3
GM 0
c 2
2r A r p
r A + r P
r A – p
r A
p – r P
r P
p
1 – e
p
1 + e
p
1 + e cosq
L 2
Gm 2 M 0
c) L’angle ∆f , dont tourne la trajectoire pendant une révolution, est
(il est très faible donc assimilable à sa
tangente). Le module de A
➞ étant aussi l’excentricité de la trajectoire, cette expression se simplifie :
f =
=
=
.
On introduit r A et r P , il vient finalement :
f =
.
Remarque : Mercure n’a pas une vitesse nettement plus
importante que la Terre sur son orbite, mais les distances
caractéristiques r A et r P sont bien plus faibles dans son cas
car c’est la planète la plus proche du Soleil. L’avance de son
périhélie sera donc plus facilement détectable car f est ici
plus important, le phénomène étant également plus rapide
puisque c’est aussi la plus petite période de révolution.
d) En un siècle, le grand axe de l’ellipse atourné de :
dW
L’application numérique donne dW = 2.10 –4 rad = 43,1
secondes d’arc. Cette valeur rentre dans la zone d’incertitude
fournie par l’expérience : la théorie relativiste rend effectivement compte de l’avance du périhélie de Mercure.
Remarque : On observe un phénomène semblable pour les
satellites terrestres, la cause en est tout autre:l’avance du
périgée des satellites est due à l’aplatissement de la Terre aux
pôles, le potentiel gravitationnel n’étant plus exactement
newtonien mais de la forme
le deuxième
terme étant très faible par rapport au premier.
Vm
GM
r
m
r
=−
−
T
ε
3 ,
∆
Ω=100
0
T
T
φ .
r A + r P
r A r P
3πGM 0
C 2
6πGM 0
C 2 p
6πL 2
m 2 C 2 p 2
2πe
GmM 0 p 2
∆
∆
φ =
||
||
|| ||
A
A
➞
➞
A
A
y
x
planète
S
Φ
D D
CORRIGÉS
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
82
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.