2 • Calculons le vecteur de Runge-Lenz, constant, à l’instant
initial :
A
➞ = (v
➞ ∧ o
L O ) – e
➞
r
= [v 0 (cosa e
➞
q 0
– sina e
➞
r 0
) ∧ mr 0 v 0 cosa e
➞
z ] – e
➞
r 0
Sachant que la constante d’interaction est k = GmM T , et que
=
, on en déduit :
A
➞ = sina (– sina e
➞
r 0
+ cosa e
➞
q 0
)
et, par conséquent :
e 2 = A
➞ 2 = sin 2 a
ce qui assure le résultat.
3 • L’équation polaire de la trajectoire est :
r =
avec e = sina et p = a(1 – e 2 ) = r 0 cos 2 a .
Au périhélie, la distance minimale est :
r P =
= r 0 (1 – sin a).
Le satellite ne s’écrase pas si r P R T , ce qui donne :
sin a 1 –
.
L’écrasement est donc évité pour :
a arcsin 1 – 5,7 °.
Mouvement hyperbolique
répulsif. Expérience de Rutherford
1 • La relation fondamentale de la dynamique appliquée à
la particule a s’écrit
En remarquant que
on peut écrire l’équation
précédente sous la forme :
On reconnaît au dénominateur le moment cinétique de la particule L = mr 2 ·
q = – mbv 0 (c’est une constante du mouvement, on le calcule au départ en faisant très attention à
l’orientation des vecteurs). D’après le schéma de l’énoncé,
q diminue au cours du mouvement, il est donc normal de
trouver L 0.
En intégrant l’équation ci-dessus entre le départ et un point
où la particule est de nouveau très éloignée du noyau, on
obtient :
d
d
d
d
v
➞
➞
t
k
mr
e
t
=
−
2 θ
θ
•
.
e
e
t
r
➞
➞
=−
1
θ
θ
•
,
d
d
m t
k
r
e r
d
d
v
➞
➞
= 2 .
8
R T
r 0
R T
r 0
r 0 (1 – sin 2 a)
1 + sina
p
1 + e cosq
GM T
r 0
2
v 0
2
r 0
1
k
1
k
2 • Àl ’infini (des deux côtés), l’énergie potentielle d’interaction entre la particule a et le noyau est nulle, l’énergie est
uniquement sous forme cinétique, on en déduit (grâce à la
conservation de l’énergie) que ||v
➞
∞ || = v 0 .
On projette alors l’équation précédente sur les axes (Ox) ou
(Oy) en remarquant que e
➞
q 0
= – e
➞
y et que l’angle entre (Oy)
et e
➞
q ∞
est égal à D , on obtient :
On vérifie que ces deux équations sont équivalentes.
La première équation (par exemple) devient :
d’où :
3 • L’énergie de la particule, constante, est :
M = mv 0
2 = m(
.
r
2
+ r
2
.
q 2 ) +
= m
.
r 2 +
+ .
Lorsque la distance est minimale, il vient :
mb
2
v 0
2 + 2kr min – mv 0
2 r
2 min = 0.
La racine positive de cette équation de degré 2 est :
r min =
+
7
2 + b 2
que l’on peut aussi écrire :
r min = b
tan
+
.
Correction relativiste.
Avance du périhélie de Mercure
1 • Préliminaire
a) A
➞ est un vecteur constant dans le plan de la trajectoire
(dirigé de S , foyer de l’ellipse, vers P, périgée de la trajectoire, que l’on peut exprimer :
A
➞ = (v
➞ ∧ L
➞
O ) – e
➞
r =
(
.
r e
➞
r + r
.
q e
➞
q ) ∧ Le
➞
z – e
➞
r .
En notant q ( h A
➞ , r
➞ ), on a:
z r.A
➞ = A
➞
r cosq , mais aussi r
➞
. A
➞ =
– r.
L
2
Gm 2 M 0
1
GmM 0
1
a
9
1
cos
D
2
D
2
k
mv 0
2
k
mv 0
2
k
r
mb
2
v 0
2
2r 2
1
2
k
r
1
2
1
2
tan
.
Dk
mb
2
0
2
= v
2
2
2
22
0
2
0
v
v
sin
sin cos ,
Dk
mb
DD
=
vv
v
v
v
00
0
0
0
1
cos
sin
() )
sin
(cos
)(
)) .
D
k
mb
DO x
D
k
mb
D
O y
−= −
=+
sur (
sur (
vv
v
∞ −=
−
∞
➞➞
➞➞
0
0
0
k
mb
ee θθ .
CORRIGÉS
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
81
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
initial :
A
➞ = (v
➞ ∧ o
L O ) – e
➞
r
= [v 0 (cosa e
➞
q 0
– sina e
➞
r 0
) ∧ mr 0 v 0 cosa e
➞
z ] – e
➞
r 0
Sachant que la constante d’interaction est k = GmM T , et que
=
, on en déduit :
A
➞ = sina (– sina e
➞
r 0
+ cosa e
➞
q 0
)
et, par conséquent :
e 2 = A
➞ 2 = sin 2 a
ce qui assure le résultat.
3 • L’équation polaire de la trajectoire est :
r =
avec e = sina et p = a(1 – e 2 ) = r 0 cos 2 a .
Au périhélie, la distance minimale est :
r P =
= r 0 (1 – sin a).
Le satellite ne s’écrase pas si r P R T , ce qui donne :
sin a 1 –
.
L’écrasement est donc évité pour :
a arcsin 1 – 5,7 °.
Mouvement hyperbolique
répulsif. Expérience de Rutherford
1 • La relation fondamentale de la dynamique appliquée à
la particule a s’écrit
En remarquant que
on peut écrire l’équation
précédente sous la forme :
On reconnaît au dénominateur le moment cinétique de la particule L = mr 2 ·
q = – mbv 0 (c’est une constante du mouvement, on le calcule au départ en faisant très attention à
l’orientation des vecteurs). D’après le schéma de l’énoncé,
q diminue au cours du mouvement, il est donc normal de
trouver L 0.
En intégrant l’équation ci-dessus entre le départ et un point
où la particule est de nouveau très éloignée du noyau, on
obtient :
d
d
d
d
v
➞
➞
t
k
mr
e
t
=
−
2 θ
θ
•
.
e
e
t
r
➞
➞
=−
1
θ
θ
•
,
d
d
m t
k
r
e r
d
d
v
➞
➞
= 2 .
8
R T
r 0
R T
r 0
r 0 (1 – sin 2 a)
1 + sina
p
1 + e cosq
GM T
r 0
2
v 0
2
r 0
1
k
1
k
2 • Àl ’infini (des deux côtés), l’énergie potentielle d’interaction entre la particule a et le noyau est nulle, l’énergie est
uniquement sous forme cinétique, on en déduit (grâce à la
conservation de l’énergie) que ||v
➞
∞ || = v 0 .
On projette alors l’équation précédente sur les axes (Ox) ou
(Oy) en remarquant que e
➞
q 0
= – e
➞
y et que l’angle entre (Oy)
et e
➞
q ∞
est égal à D , on obtient :
On vérifie que ces deux équations sont équivalentes.
La première équation (par exemple) devient :
d’où :
3 • L’énergie de la particule, constante, est :
M = mv 0
2 = m(
.
r
2
+ r
2
.
q 2 ) +
= m
.
r 2 +
+ .
Lorsque la distance est minimale, il vient :
mb
2
v 0
2 + 2kr min – mv 0
2 r
2 min = 0.
La racine positive de cette équation de degré 2 est :
r min =
+
7
2 + b 2
que l’on peut aussi écrire :
r min = b
tan
+
.
Correction relativiste.
Avance du périhélie de Mercure
1 • Préliminaire
a) A
➞ est un vecteur constant dans le plan de la trajectoire
(dirigé de S , foyer de l’ellipse, vers P, périgée de la trajectoire, que l’on peut exprimer :
A
➞ = (v
➞ ∧ L
➞
O ) – e
➞
r =
(
.
r e
➞
r + r
.
q e
➞
q ) ∧ Le
➞
z – e
➞
r .
En notant q ( h A
➞ , r
➞ ), on a:
z r.A
➞ = A
➞
r cosq , mais aussi r
➞
. A
➞ =
– r.
L
2
Gm 2 M 0
1
GmM 0
1
a
9
1
cos
D
2
D
2
k
mv 0
2
k
mv 0
2
k
r
mb
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v 0
2
2r 2
1
2
k
r
1
2
1
2
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.
Dk
mb
2
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2
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2
2
2
22
0
2
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v
v
sin
sin cos ,
Dk
mb
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vv
v
v
v
00
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1
cos
sin
() )
sin
(cos
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D
k
mb
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−= −
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sur (
sur (
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v
∞ −=
−
∞
➞➞
➞➞
0
0
0
k
mb
ee θθ .
CORRIGÉS
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
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La photocopie non autorisée est un délit.