©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
l’excentricité e et du paramètre p =
de l’ellipse.
Ce vecteur sera exprimé dans la base polaire puis dans la base
cartésienne (e
➞
x , e
➞
y ) . En déduire que la variation ∆A
➞ du vecteur A
➞ pendant une période de révolution de la planète sur
sa trajectoire elliptique est égale à:∆A
➞ = 2eπ
e
➞
y .
Données :
2π
0
(1 + e cosq) 2 cosq dq = 2eπ et
2π
0
(1 + e cosq) 2 sinq dq = 0.
En déduire que le potentiel perturbateur V P d’origine relativiste entraîne une déformation de la trajectoire correspondant à une rotation lente du grand axe de l’ellipse,
dans son plan, autour du Soleil.
c) Calculer l’angle ∆f dont tourne la trajectoire de la planète pendant une période de révolution en fonction de G ,
M 0 , c et des distances maximale et minimale, r A et r P ,
de la planète au Soleil.
d) En déduire « l’avance séculaire » dW pour une planète dont la période de révolution, exprimée en jours sidéraux, est T , c’est-à-dire l’angle dont atourné le grand axe
de sa trajectoire au bout d’un siècle (on rappelle qu’un an
correspond à T 0 = 365,25 jours sidéraux).
Calculer dW en secondes d’arc (1 seconde d’arc est égale
à
degré) pour Mercure, dont l’aphélie se trouve à
7,0 . 10
10
md u Soleil et le périhélie à 4,6.10
10
m.
Expérimentalement, on trouve dW = 42,6 ± 0,9 secondes
d’arc. La théorie relativiste rend-elle effectivement compte de cette valeur ?
1
3600
e
GM 0 p 2
L 2
m 2 GM 0
Correction relativiste.
Avance du périhélie de Mercure
1 • Préliminaire
a) Soit un champ de force newtonien de la forme
F
➞ =–a ;en utilisant le vecteur de Lenz A
➞ =– e
➞
r ,
retrouver l’équation polaire r =
de l’ellipse
trajectoire décrite par une planète autour du Soleil.
Relier en particulier le paramètre p à m , L O
➞ = Le
➞
z et a
constante d’interaction à préciser.
b) Exprimer p à l’aide de r A et r P , distances en périgée
et à l’apogée de la trajectoire.
2 • Avance du périhélie
En Relativité Générale, le mouvement d’une planète de
masse m autour du Soleil, assimilé à une sphère homogène de masse M 0 et de centre S , doit être décrit comme
si au potentiel d’attraction newtonienne subi par la masse
(de la forme V(r) = – G
) se superposait un potentiel
perturbateur V P (r) =
=
,où c désigne
la vitesse de la lumière (c = 3.10
8 m . s –1 ).
On prendra M 0 = 2 . 10
30
kg (on suppose que M 0 m de
telle sorte que l’on peut considérer le Soleil comme immobile). On traitera V P comme une perturbation par rapport
au potentiel newtonien V .
a) Quelle condition doit satisfaire le mouvement de la planète pour qu’il en soit ainsi ? Vérifier rapidement si l’on peut
appliquer cette approximation à la Terre et à Mercure (dont
la période de révolution autour du soleil est de 88 jours). On
rappelle que la distance Terre–Soleil est R T = 1,5 . 10 11 m.
On admet alors qu’en première approximation la trajectoire
de la planète reste sensiblement elliptique. On appelle (Ox)
l’axe focal et (Oy) l’axe perpendiculaire à (Ox) .
b) Exprimer
où A
➞ est le vecteur de Runge-Lenz, en
fonction de e , G , M 0 , q et
ainsi que de
dq
dt
dA
➞
dt
– e
3r
3
1
r
3
L
2
m
GM 0
c
2
M 0 m
r
y
x
r
planète
q
S
p
1 + e cosq
v
➞ ∧ L
➞
O
a
e
➞
r
r 2
9
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
76
Conseils
1) Cf. l’Essentiel.
2) a) Pour déterminer l’ordre de grandeur de la vitesse de la Terre et de Mercure autour du Soleil, assimiler leurs trajectoires à des cercles.
b)
est la somme de deux termes : l’un dû à V(r),
l’autre à V P (r) . En déduire que dans l’expression de
, seul le deuxième terme donne une contribution
non nulle. Exprimer alors L en fonction de q et de
sa dérivée par rapport au temps (en utilisant l’équation polaire de la trajectoire) pour obtenir une expression de la forme
= f (q )
·
q e
➞
q . Il faut ensuite exprimer ce vecteur dans la base cartésienne avant de l’intégrer sur une période de révolution.
c) Quelle est la relation entre le module de A
➞ et l’excentricité de la trajectoire ?E xprimer ensuite p en
fonction de r A et r P .
dA
➞
dt
dA
➞
dt
dv
➞
dt
La photocopie non autorisée est un délit.
l’excentricité e et du paramètre p =
de l’ellipse.
Ce vecteur sera exprimé dans la base polaire puis dans la base
cartésienne (e
➞
x , e
➞
y ) . En déduire que la variation ∆A
➞ du vecteur A
➞ pendant une période de révolution de la planète sur
sa trajectoire elliptique est égale à:∆A
➞ = 2eπ
e
➞
y .
Données :
2π
0
(1 + e cosq) 2 cosq dq = 2eπ et
2π
0
(1 + e cosq) 2 sinq dq = 0.
En déduire que le potentiel perturbateur V P d’origine relativiste entraîne une déformation de la trajectoire correspondant à une rotation lente du grand axe de l’ellipse,
dans son plan, autour du Soleil.
c) Calculer l’angle ∆f dont tourne la trajectoire de la planète pendant une période de révolution en fonction de G ,
M 0 , c et des distances maximale et minimale, r A et r P ,
de la planète au Soleil.
d) En déduire « l’avance séculaire » dW pour une planète dont la période de révolution, exprimée en jours sidéraux, est T , c’est-à-dire l’angle dont atourné le grand axe
de sa trajectoire au bout d’un siècle (on rappelle qu’un an
correspond à T 0 = 365,25 jours sidéraux).
Calculer dW en secondes d’arc (1 seconde d’arc est égale
à
degré) pour Mercure, dont l’aphélie se trouve à
7,0 . 10
10
md u Soleil et le périhélie à 4,6.10
10
m.
Expérimentalement, on trouve dW = 42,6 ± 0,9 secondes
d’arc. La théorie relativiste rend-elle effectivement compte de cette valeur ?
1
3600
e
GM 0 p 2
L 2
m 2 GM 0
Correction relativiste.
Avance du périhélie de Mercure
1 • Préliminaire
a) Soit un champ de force newtonien de la forme
F
➞ =–a ;en utilisant le vecteur de Lenz A
➞ =– e
➞
r ,
retrouver l’équation polaire r =
de l’ellipse
trajectoire décrite par une planète autour du Soleil.
Relier en particulier le paramètre p à m , L O
➞ = Le
➞
z et a
constante d’interaction à préciser.
b) Exprimer p à l’aide de r A et r P , distances en périgée
et à l’apogée de la trajectoire.
2 • Avance du périhélie
En Relativité Générale, le mouvement d’une planète de
masse m autour du Soleil, assimilé à une sphère homogène de masse M 0 et de centre S , doit être décrit comme
si au potentiel d’attraction newtonienne subi par la masse
(de la forme V(r) = – G
) se superposait un potentiel
perturbateur V P (r) =
=
,où c désigne
la vitesse de la lumière (c = 3.10
8 m . s –1 ).
On prendra M 0 = 2 . 10
30
kg (on suppose que M 0 m de
telle sorte que l’on peut considérer le Soleil comme immobile). On traitera V P comme une perturbation par rapport
au potentiel newtonien V .
a) Quelle condition doit satisfaire le mouvement de la planète pour qu’il en soit ainsi ? Vérifier rapidement si l’on peut
appliquer cette approximation à la Terre et à Mercure (dont
la période de révolution autour du soleil est de 88 jours). On
rappelle que la distance Terre–Soleil est R T = 1,5 . 10 11 m.
On admet alors qu’en première approximation la trajectoire
de la planète reste sensiblement elliptique. On appelle (Ox)
l’axe focal et (Oy) l’axe perpendiculaire à (Ox) .
b) Exprimer
où A
➞ est le vecteur de Runge-Lenz, en
fonction de e , G , M 0 , q et
ainsi que de
dq
dt
dA
➞
dt
– e
3r
3
1
r
3
L
2
m
GM 0
c
2
M 0 m
r
y
x
r
planète
q
S
p
1 + e cosq
v
➞ ∧ L
➞
O
a
e
➞
r
r 2
9
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
76
Conseils
1) Cf. l’Essentiel.
2) a) Pour déterminer l’ordre de grandeur de la vitesse de la Terre et de Mercure autour du Soleil, assimiler leurs trajectoires à des cercles.
b)
est la somme de deux termes : l’un dû à V(r),
l’autre à V P (r) . En déduire que dans l’expression de
, seul le deuxième terme donne une contribution
non nulle. Exprimer alors L en fonction de q et de
sa dérivée par rapport au temps (en utilisant l’équation polaire de la trajectoire) pour obtenir une expression de la forme
= f (q )
·
q e
➞
q . Il faut ensuite exprimer ce vecteur dans la base cartésienne avant de l’intégrer sur une période de révolution.
c) Quelle est la relation entre le module de A
➞ et l’excentricité de la trajectoire ?E xprimer ensuite p en
fonction de r A et r P .
dA
➞
dt
dA
➞
dt
dv
➞
dt