©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Incident sur un satellite
Un satellite se trouve sur une orbite circulaire, de rayon r 0 ,
autour de la Terre lorsqu’un incident se produit modifiant
la direction de la vitesse d’un angle a , sans changer sa
norme v 0 .
1 • Montrer que la nouvelle trajectoire du satellite est une
ellipse de demi-grand-axe égal à r 0 .
2 • Montrer, en utilisant le vecteur Runge-Lenz A
➞ (cf.
l’Essentiel) que l’excentricité e de l’ellipse est e = sina .
3 • Le satellite tournant initialement à 700 km d’altitude,
pour quelles valeurs de a s’écrasera-t-il sur la Terre ?
r 0
t
v 0
t
v 0
S
α
T
7
*Mouvement hyperbolique
répulsif. Expérience de
Rutherford
Une particule a de masse m et de charge q = 2e , venant
de l’infini avec une vitesse v
➞
0 , s’approche avec un paramètre d’impact b = OH d’un noyau cible (noyau d’or) de
masse M >> m et de charge Ze .
1 • Montrer que :
v
➞
∞ – v
➞
0 = –
e
➞
q ∞
– e
➞
q 0
, où k =
et où l’indice 0 concerne les grandeurs au départ et l’indice ∞ les grandeurs quand la particule est de nouveau infiniment éloignée du noyau.
2 • En déduire la déviation D de la particule en fonction
de k , m , b et v 0 .
3 • Déterminer la distance minimale r min de plus courte
approche du noyau.
Ze
2
4πe 0
k
mv 0 b
θ
noyau d’or
y
x
z
b
H
P
S
D
D
θ
e
θ
e ∞
e r
v ∞
v 0
8
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
75
Conseils
1) Quelle est l’énergie du satellite après l’incident ?
En déduire la valeur du demi-grand axe a de l’ellipse
grâce à la relation entre a et .
2) Rappelons que le vecteur Runge-Lenz :
A
➞ =
v
➞
k
L O
– e
➞
r avec F
➞ = –
e
➞
r
est parallèle au rayon vecteur r
➞ lorsque la distance
r au centre de la force passe par une valeur extrémale et de norme e, excentricité de la trajectoire.
3) Le satellite s’écrasera sur la Terre si le périgée de
la trajectoire passe sous la surface terrestre.
k
r 2
Conseils
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique et
remarquer que e
➞
r s’exprime simplement en fonction
de
d
d
e
➞
t
q
.
Intégrer alors l’équation obtenue entre le départ P 0
et un point P ∞ , où la particule est de nouveau infiniment éloignée du noyau.
Attention à l’orientation des vecteurs.
2) Que peut-on dire du module du vecteur vitesse aux
points P 0 et P ∞ ? Projeter alors l’équation obtenue
à la question 1).
3) On peut utiliser la conservation de l’énergie.
3) Àpartir de l’équation traduisant la conservation du
moment cinétique, isoler
·
q et le mettre sous la forme
·
q = f (q) .
En déduire l’ordre de grandeur de la durée de visibilité de la comète depuis la Terre en utilisant les hypothèses simplificatrices de l’énoncé.
La photocopie non autorisée est un délit.
Incident sur un satellite
Un satellite se trouve sur une orbite circulaire, de rayon r 0 ,
autour de la Terre lorsqu’un incident se produit modifiant
la direction de la vitesse d’un angle a , sans changer sa
norme v 0 .
1 • Montrer que la nouvelle trajectoire du satellite est une
ellipse de demi-grand-axe égal à r 0 .
2 • Montrer, en utilisant le vecteur Runge-Lenz A
➞ (cf.
l’Essentiel) que l’excentricité e de l’ellipse est e = sina .
3 • Le satellite tournant initialement à 700 km d’altitude,
pour quelles valeurs de a s’écrasera-t-il sur la Terre ?
r 0
t
v 0
t
v 0
S
α
T
7
*Mouvement hyperbolique
répulsif. Expérience de
Rutherford
Une particule a de masse m et de charge q = 2e , venant
de l’infini avec une vitesse v
➞
0 , s’approche avec un paramètre d’impact b = OH d’un noyau cible (noyau d’or) de
masse M >> m et de charge Ze .
1 • Montrer que :
v
➞
∞ – v
➞
0 = –
e
➞
q ∞
– e
➞
q 0
, où k =
et où l’indice 0 concerne les grandeurs au départ et l’indice ∞ les grandeurs quand la particule est de nouveau infiniment éloignée du noyau.
2 • En déduire la déviation D de la particule en fonction
de k , m , b et v 0 .
3 • Déterminer la distance minimale r min de plus courte
approche du noyau.
Ze
2
4πe 0
k
mv 0 b
θ
noyau d’or
y
x
z
b
H
P
S
D
D
θ
e
θ
e ∞
e r
v ∞
v 0
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EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
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Conseils
1) Quelle est l’énergie du satellite après l’incident ?
En déduire la valeur du demi-grand axe a de l’ellipse
grâce à la relation entre a et .
2) Rappelons que le vecteur Runge-Lenz :
A
➞ =
v
➞
k
L O
– e
➞
r avec F
➞ = –
e
➞
r
est parallèle au rayon vecteur r
➞ lorsque la distance
r au centre de la force passe par une valeur extrémale et de norme e, excentricité de la trajectoire.
3) Le satellite s’écrasera sur la Terre si le périgée de
la trajectoire passe sous la surface terrestre.
k
r 2
Conseils
1) Écrire la relation fondamentale de la dynamique et
remarquer que e
➞
r s’exprime simplement en fonction
de
d
d
e
➞
t
q
.
Intégrer alors l’équation obtenue entre le départ P 0
et un point P ∞ , où la particule est de nouveau infiniment éloignée du noyau.
Attention à l’orientation des vecteurs.
2) Que peut-on dire du module du vecteur vitesse aux
points P 0 et P ∞ ? Projeter alors l’équation obtenue
à la question 1).
3) On peut utiliser la conservation de l’énergie.
3) Àpartir de l’équation traduisant la conservation du
moment cinétique, isoler
·
q et le mettre sous la forme
·
q = f (q) .
En déduire l’ordre de grandeur de la durée de visibilité de la comète depuis la Terre en utilisant les hypothèses simplificatrices de l’énoncé.