©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
9 • Exprimer W 1 le travail nécessaire à la phase 1 en
fonction de K 0 .
10 • Déduire de l’énergie sur C 0 et sur la trajectoire elliptique la vitesse v 0 en fonction de v 0 et de x.
11 • Exprimer le travail W 2 nécessaire à la phase 2 en
fonction de K 0 et de x.
12 • Déterminer la vitesse v 1 en fonction de v 0 et de x.
13 • Exprimer le travail W 3 nécessaire à la phase 3 en
fonction de K 0 et de x. Comparer le travail W calculé
à la question 8 et la somme W 1 + W 2 + W 3 .
14 • Déduire de la 3 e loi de Kepler la durée t du transfert
du satellite (S) de l’orbite C 0 à l’orbite C 1 en fonction
de T 1 et de x.
*Trajectoire d’une comète
On considère que la Terre décrit autour du Soleil une trajectoire circulaire de rayon R T = 150 . 10
9
m, avec la
période T 0 , à la vitesse v T . Une comète décrit une orbite dans le même plan que celle de la Terre. Elle passe le
plus près du Soleil à une distance kR T , sa vitesse en ce
point est v 1 .
1 • Déterminer la vitesse v de la comète lorsqu’elle coupe
l’orbite terrestre en fonction de k , v T et v 1 .
A.N. : k = 0,42 , v T = 30,00 . 10
3
m . s
–1
et
v 1 = 65,08 . 10
3
m . s
–1
. Calculer v .
2 • Montrer que la comète décrit une orbite elliptique.
Exprimer son demi-grand axe a sous la forme a = lR T .
Déterminer son excentricité e en fonction de v T , v 1 et k .
Donner la période de révolution T de la comète sous la
forme T = nT 0 .
A.N. : Calculer l , e et n .
3 • Pendant combien de temps reste-t-elle dans l’orbite
terrestre, c’est-à-dire r = SC R T ? Cette durée donne
l’ordre de grandeur de la durée de visibilité de la comète
depuis la Terre, elle sera mise sous la forme d’une intégrale, puis, comme on n’en cherche qu’un ordre de grandeur, on prendra e = 1 pour effectuer le calcul, et on
utilisera
q 0
0
= tan + tan
3
.
q 0
2
1
6
q 0
2
1
2
d q
(1 + cos q) 2
6
2 • Exprimer la période T 0 du satellite (S) en fonction de
g 0 et R.
3 • Déterminer la vitesse v E d’un point de l’équateur terrestre en fonction de R et T 1 ainsi que le rapport
2 .
4 • Application numérique :
Calculer le rapport
2 pour R = 6 400 km,
g 0 = 9,81 m . s
–2
et T 1 = 24 h.
Dans la suite du problème, on négligera v
2
E devant v
2
0 .
On place maintenant le satellite (S) sur une nouvelle orbite C 1 située dans le plan équatorial. On désire que (S)
soit vu immobile de tout point de la surface terrestre.
On ne considère plus que z est très petit devant R.
5 • Exprimer le champ de pesanteur g en fonction de g 0 .
6 • Déterminer le rayon R 1 de cette nouvelle orbite C 1 .
En déduire le rapport x = .
7 • Déterminer la vitesse v 1 du satellite (S) sur l’orbite
C 1 en fonction de x et v 0 .
8 • Exprimer en fonction de K 0 = mv 2
0 et de x, le travail
W nécessaire pour amener le satellite (S) sur l’orbite C 1
depuis la surface terrestre.
La mise en orbite géostationnaire du satellite (S) est réalisée de la manière suivante :
– Phase 1 : On lance le satellite (S) depuis la surface terrestre sur l’orbite C 0 . On désigne par W 1 le travail nécessaire à cette opération.
– Phase 2 : En un point P de C 0 , on communique au
satellite (S) en un temps très bref une nouvelle vitesse v 0
de manière à le placer sur une orbite elliptique tangente à
C 1 au point A.
On désigne par v 1 la vitesse du satellite (S) à son arrivée au point A.
– Phase 3 : Au point A, on fait passer la vitesse du satellite (S) de v 1 à v 1 .
1
2
R 1
R
R
O
P
A
y v¢ O
y v¢ 1
Orbite C 1
Orbite C O
v E
v 0
v E
v 0
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
74
Conseils
1) Utiliser la conservation de l’énergie de la comète en
l’exprimant au point de sa trajectoire le plus proche du
Soleil et au point où elle coupe l’orbite terrestre.
2) Déterminer le signe de l’énergie de la comète.
Exprimer a en fonction de l’énergie de la comète
pour obtenir la relation a = lR T .
La photocopie non autorisée est un délit.
9 • Exprimer W 1 le travail nécessaire à la phase 1 en
fonction de K 0 .
10 • Déduire de l’énergie sur C 0 et sur la trajectoire elliptique la vitesse v 0 en fonction de v 0 et de x.
11 • Exprimer le travail W 2 nécessaire à la phase 2 en
fonction de K 0 et de x.
12 • Déterminer la vitesse v 1 en fonction de v 0 et de x.
13 • Exprimer le travail W 3 nécessaire à la phase 3 en
fonction de K 0 et de x. Comparer le travail W calculé
à la question 8 et la somme W 1 + W 2 + W 3 .
14 • Déduire de la 3 e loi de Kepler la durée t du transfert
du satellite (S) de l’orbite C 0 à l’orbite C 1 en fonction
de T 1 et de x.
*Trajectoire d’une comète
On considère que la Terre décrit autour du Soleil une trajectoire circulaire de rayon R T = 150 . 10
9
m, avec la
période T 0 , à la vitesse v T . Une comète décrit une orbite dans le même plan que celle de la Terre. Elle passe le
plus près du Soleil à une distance kR T , sa vitesse en ce
point est v 1 .
1 • Déterminer la vitesse v de la comète lorsqu’elle coupe
l’orbite terrestre en fonction de k , v T et v 1 .
A.N. : k = 0,42 , v T = 30,00 . 10
3
m . s
–1
et
v 1 = 65,08 . 10
3
m . s
–1
. Calculer v .
2 • Montrer que la comète décrit une orbite elliptique.
Exprimer son demi-grand axe a sous la forme a = lR T .
Déterminer son excentricité e en fonction de v T , v 1 et k .
Donner la période de révolution T de la comète sous la
forme T = nT 0 .
A.N. : Calculer l , e et n .
3 • Pendant combien de temps reste-t-elle dans l’orbite
terrestre, c’est-à-dire r = SC R T ? Cette durée donne
l’ordre de grandeur de la durée de visibilité de la comète
depuis la Terre, elle sera mise sous la forme d’une intégrale, puis, comme on n’en cherche qu’un ordre de grandeur, on prendra e = 1 pour effectuer le calcul, et on
utilisera
q 0
0
= tan + tan
3
.
q 0
2
1
6
q 0
2
1
2
d q
(1 + cos q) 2
6
2 • Exprimer la période T 0 du satellite (S) en fonction de
g 0 et R.
3 • Déterminer la vitesse v E d’un point de l’équateur terrestre en fonction de R et T 1 ainsi que le rapport
2 .
4 • Application numérique :
Calculer le rapport
2 pour R = 6 400 km,
g 0 = 9,81 m . s
–2
et T 1 = 24 h.
Dans la suite du problème, on négligera v
2
E devant v
2
0 .
On place maintenant le satellite (S) sur une nouvelle orbite C 1 située dans le plan équatorial. On désire que (S)
soit vu immobile de tout point de la surface terrestre.
On ne considère plus que z est très petit devant R.
5 • Exprimer le champ de pesanteur g en fonction de g 0 .
6 • Déterminer le rayon R 1 de cette nouvelle orbite C 1 .
En déduire le rapport x = .
7 • Déterminer la vitesse v 1 du satellite (S) sur l’orbite
C 1 en fonction de x et v 0 .
8 • Exprimer en fonction de K 0 = mv 2
0 et de x, le travail
W nécessaire pour amener le satellite (S) sur l’orbite C 1
depuis la surface terrestre.
La mise en orbite géostationnaire du satellite (S) est réalisée de la manière suivante :
– Phase 1 : On lance le satellite (S) depuis la surface terrestre sur l’orbite C 0 . On désigne par W 1 le travail nécessaire à cette opération.
– Phase 2 : En un point P de C 0 , on communique au
satellite (S) en un temps très bref une nouvelle vitesse v 0
de manière à le placer sur une orbite elliptique tangente à
C 1 au point A.
On désigne par v 1 la vitesse du satellite (S) à son arrivée au point A.
– Phase 3 : Au point A, on fait passer la vitesse du satellite (S) de v 1 à v 1 .
1
2
R 1
R
R
O
P
A
y v¢ O
y v¢ 1
Orbite C 1
Orbite C O
v E
v 0
v E
v 0
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
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74
Conseils
1) Utiliser la conservation de l’énergie de la comète en
l’exprimant au point de sa trajectoire le plus proche du
Soleil et au point où elle coupe l’orbite terrestre.
2) Déterminer le signe de l’énergie de la comète.
Exprimer a en fonction de l’énergie de la comète
pour obtenir la relation a = lR T .