©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Stabilité d’une trajectoire
circulaire dans un champ
de force en
r
1
n
Un point matériel de masse m évolue dans le champ de
force centrale F(r) e
➞
r , de centre O .
1 • Quelle relation lie le rayon r 0 et la vitesse v 0 dans le
cas d’une trajectoire circulaire ?
2 • L’objet subit une perturbation de vitesse, de sorte
qu’à t = 0:
r(0) = r 0 , v q (0) = r
·
q 0 (0) = v 0 et v r (0) =
.
r(0) = av 0 ,
avec a 1.
Étudier l’évolution du rayon r(t) au voisinage de r 0 , et établir un critère que doit vérifier le champ de force pour que
l’évolution ultérieure se fasse au voisinage du cercle initial.
2 • Que devient cette condition pour un champ de force
en
? Qu’en est-il pour le cas newtonien ?
Chez le petit prince
Évaluer le rayon d’une planète telle qu’en sautant à pieds
joints, on puisse échapper à la pesanteur.
Lancement d’un satellite GPS
Le lancer d’un satellite depuis une navette spatiale s’effectue en trois étapes successives : la navette est d’abord mise
sur orbite circulaire, au moyen de fusées auxiliaires ; à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le satellite qui
gagne progressivement une altitude plus élevée ; enfin, une
fois parvenu à son altitude définitive, le satellite s’y stabilise au moyen d’un dispositif de freinage. Dans la première phase, la navette et son satellite sont solidaires. Avec l’équipage et la charge utile, l’ensemble est assimilé à un
point matériel unique de masse M . Le tout est en orbite
circulaire d’altitude h et de rayon r = R + h , où R est le
rayon de la Terre. On appelle g 0 l’accélération de la pesan4
3
1
r
n
2
teur au niveau du sol. On prendra g 0 = 9,81 m . s –2 et
R = 6 400 km pour les applications numériques.
1 • Déterminer, dans le référentiel géocentrique () supposé galiléen, en fonction des constantes M , R et g 0 , la
vitesse v(r) , la vitesse angulaire w 0 (r) et l’énergie mécanique (r) de l’ensemble.
2 • Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir
situé à la latitude l . Déterminer la variation d’énergie mécanique entre le lancement (avant la mise en route des fusées) et
l’arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R , M , g 0 , l
et T , période de rotation de la Terre autour de l’axe des pôles.
3 • Commenter le choix de l permettant, avec des
moteurs donnés, la mise en orbite la plus favorable.
4 • A.N. : L’orbite à atteindre est située à l’altitude de 300
km. Calculer l’économie d’énergie réalisée par unité de
masse du système lancé, lors du passage du pas de tir
d’Edwards (Californie, l 1 = 34°50′N) à celui de Cap
Canaveral (Floride, l 2 = 28°30′N) (à titre documentaire,
un gramme d’essence fournit typiquement 40 kJ dans un
moteur à explosion). Commenter.
5 • A.N. : Déterminer l’altitude H qu’il faut atteindre
pour obtenir la période de rotation de 12 heures qui est
celle des satellites du système GPS.
Transfert d’un satellite
(Concours national DEUG 2008)
La Terre est considérée comme un astre sphérique de centre O, de rayon R et de masse M. Le référentiel géocentrique est supposé galiléen. La Terre est animée par rapport à ce référentiel d’un mouvement de rotation uniforme
de période T 1 .
On désigne par g 0 l’intensité du champ de gravitation terrestre à la surface de la Terre.
On place un satellite (S) de masse m sur une orbite circulaire C 0 située dans le plan équatorial et d’altitude z
faible devant R.
On considère que sur l’orbite C 0 le satellite est soumis au
champ de pesanteur g
➞
0 identique à celui qui règne au
niveau du sol.
1 • Déterminer la vitesse v du satellite (S) en fonction de
g 0 et R.
5
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
73
Conseils
1) Quelle est l’accélération pour un mouvement circulaire ? Ce mouvement est-il uniforme ?
2) Écrire l’équation du mouvement radial en utilisant
la constante des aires.
3) Apriori, il vaut mieux trouver que le champ newtonien donne une solution stable...
Conseils
1) Projeter la relation fondamentale de la dynamique,
appliquée à l’ensemble {navette + satellite + équipage + matériel} sur son orbite circulaire, sur la normale au mouvement.
2) Sur le pas de tir, la vitesse de la fusée est égale à la
vitesse de rotation de la Terre sur elle-même en ce
point.
Conseil
Que faut-il faire pour réaliser un état de diffusion ?
La photocopie non autorisée est un délit.
Stabilité d’une trajectoire
circulaire dans un champ
de force en
r
1
n
Un point matériel de masse m évolue dans le champ de
force centrale F(r) e
➞
r , de centre O .
1 • Quelle relation lie le rayon r 0 et la vitesse v 0 dans le
cas d’une trajectoire circulaire ?
2 • L’objet subit une perturbation de vitesse, de sorte
qu’à t = 0:
r(0) = r 0 , v q (0) = r
·
q 0 (0) = v 0 et v r (0) =
.
r(0) = av 0 ,
avec a 1.
Étudier l’évolution du rayon r(t) au voisinage de r 0 , et établir un critère que doit vérifier le champ de force pour que
l’évolution ultérieure se fasse au voisinage du cercle initial.
2 • Que devient cette condition pour un champ de force
en
? Qu’en est-il pour le cas newtonien ?
Chez le petit prince
Évaluer le rayon d’une planète telle qu’en sautant à pieds
joints, on puisse échapper à la pesanteur.
Lancement d’un satellite GPS
Le lancer d’un satellite depuis une navette spatiale s’effectue en trois étapes successives : la navette est d’abord mise
sur orbite circulaire, au moyen de fusées auxiliaires ; à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le satellite qui
gagne progressivement une altitude plus élevée ; enfin, une
fois parvenu à son altitude définitive, le satellite s’y stabilise au moyen d’un dispositif de freinage. Dans la première phase, la navette et son satellite sont solidaires. Avec l’équipage et la charge utile, l’ensemble est assimilé à un
point matériel unique de masse M . Le tout est en orbite
circulaire d’altitude h et de rayon r = R + h , où R est le
rayon de la Terre. On appelle g 0 l’accélération de la pesan4
3
1
r
n
2
teur au niveau du sol. On prendra g 0 = 9,81 m . s –2 et
R = 6 400 km pour les applications numériques.
1 • Déterminer, dans le référentiel géocentrique () supposé galiléen, en fonction des constantes M , R et g 0 , la
vitesse v(r) , la vitesse angulaire w 0 (r) et l’énergie mécanique (r) de l’ensemble.
2 • Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir
situé à la latitude l . Déterminer la variation d’énergie mécanique entre le lancement (avant la mise en route des fusées) et
l’arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R , M , g 0 , l
et T , période de rotation de la Terre autour de l’axe des pôles.
3 • Commenter le choix de l permettant, avec des
moteurs donnés, la mise en orbite la plus favorable.
4 • A.N. : L’orbite à atteindre est située à l’altitude de 300
km. Calculer l’économie d’énergie réalisée par unité de
masse du système lancé, lors du passage du pas de tir
d’Edwards (Californie, l 1 = 34°50′N) à celui de Cap
Canaveral (Floride, l 2 = 28°30′N) (à titre documentaire,
un gramme d’essence fournit typiquement 40 kJ dans un
moteur à explosion). Commenter.
5 • A.N. : Déterminer l’altitude H qu’il faut atteindre
pour obtenir la période de rotation de 12 heures qui est
celle des satellites du système GPS.
Transfert d’un satellite
(Concours national DEUG 2008)
La Terre est considérée comme un astre sphérique de centre O, de rayon R et de masse M. Le référentiel géocentrique est supposé galiléen. La Terre est animée par rapport à ce référentiel d’un mouvement de rotation uniforme
de période T 1 .
On désigne par g 0 l’intensité du champ de gravitation terrestre à la surface de la Terre.
On place un satellite (S) de masse m sur une orbite circulaire C 0 située dans le plan équatorial et d’altitude z
faible devant R.
On considère que sur l’orbite C 0 le satellite est soumis au
champ de pesanteur g
➞
0 identique à celui qui règne au
niveau du sol.
1 • Déterminer la vitesse v du satellite (S) en fonction de
g 0 et R.
5
EXERCICES
Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne
6
73
Conseils
1) Quelle est l’accélération pour un mouvement circulaire ? Ce mouvement est-il uniforme ?
2) Écrire l’équation du mouvement radial en utilisant
la constante des aires.
3) Apriori, il vaut mieux trouver que le champ newtonien donne une solution stable...
Conseils
1) Projeter la relation fondamentale de la dynamique,
appliquée à l’ensemble {navette + satellite + équipage + matériel} sur son orbite circulaire, sur la normale au mouvement.
2) Sur le pas de tir, la vitesse de la fusée est égale à la
vitesse de rotation de la Terre sur elle-même en ce
point.
Conseil
Que faut-il faire pour réaliser un état de diffusion ?