©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Rappeler l’expression de la force de gravitation
exercée par un point M 1 de masse m 1 sur un point M 2
de masse m 2 . On notera r = M 1 M 2 la distance entre
les points et u
➞
=
le vecteur unitaire orienté de M 1
vers M 2 .
2 • Montrer que cette force dérive d’une énergie potentielle dont on établira l’expression. On choisira l’origine
de l’énergie potentielle lorsque r tend vers l’infini.
On revient à l’étude de la bille.
On néglige les frottements. La réaction normale du support sera notée :
R N
— ➞ = R r e
➞
r + R q e
➞
q + R z e
➞
z .
3 • Justifier sans calcul que R q = 0.
4 • Faire un bilan des forces s’exerçant sur la bille.
Préciser si ces forces dérivent d’une énergie potentielle.
Dans l’affirmative, préciser l’expression de l’énergie
potentielle associée en fonction de la variable r uniquement. On choisira l’origine de l’énergie potentielle lorsque
r tend vers l’infini.
5 • Écrire le principe fondamental de la dynamique et
faire la projection dans la base cylindrique.
En déduire que la quantité r
2
est une constante notée
C.
6 • Exprimer l’énergie mécanique sous la forme :
E m = ma(r)
2 + m
–
. Préciser a(r) en
fonction de k et r.
Que peut-on dire de l’énergie mécanique ?
7 • On peut donc définir une énergie potentielle effective
E peff (r) = m
–
.
Tracer l’allure de la courbe E peff (r).
En fonction de la valeur de l’énergie mécanique initiale du
système E 0 , discuter le caractère lié ou libre du mouvement.
8 • Pour quelle valeur de r a-t-on un mouvement circulaire ?
On exprimera le rayon du mouvement circulaire r C en
fonction de C, g et k.
9 • On lance la bille d’une distance r 0 avec une vitesse v
➞
0 .
Préciser la direction et le module de v
➞
0 pour avoir un
mouvement circulaire.
mgk
r
C
2
r
2
1
2
mgk
r
C
2
r
2
1
2
dr
dt
1
2
dq
dt
—
M 1 M 2
— ➞
r
Orbitogramme de la Villette
D’après Banque Agro-Véto, 2007.
A. Étude cinématique
On considère un référentiel galiléen associé au repère
orthonormé (O, e
➞
x , e
➞
y , e
➞
z ), l’axe Oz est vertical ascendant.
La position d’un point matériel M sera définie par ses
coordonnées cylindriques, r (r 0), q et z.
On notera respectivement e
➞
r et e
➞
q les vecteurs unitaires
déduits de e
➞
x et e
➞
y par rotation d’angle q autour de Oz.
1 • Exprimer OM
— ➞ dans la base cylindrique.
2 • En déduire la vitesse v
➞
(M) dans cette même base.
3 • Montrer que l’accélération peut se mettre sous la
forme :
a
➞
(M)= – r
2 e
➞
r + 2+ r e
➞
q +
e
➞
z .
4 • Montrer que a
➞
.e
➞
q peut s’écrire aussi :
a
➞
.e
➞
q =
r
2
B. Étude dynamique et énergétique
On étudie le mouvement d’une bille d’acier M, de masse
m assimilée à un point matériel sur une surface de révolution. La surface sur laquelle roule la bille est engendrée
par la révolution d’une portion d’hyperbole, z =, k 0.
La bille se comporte sur cette surface comme un corps
céleste soumis à une force de gravitation.
z
r
M
y e z
y e q
y e r
– k
r
dq
dt
d
dt
1
r
d
2
z
dt
2
d
2
q
dt
2
dq
dt
dr
dt
dq
dt
d
2
r
dt
2
z
r
z
z
O
M
y
x
q
y e z
y e z
y e q
y
e r
y
e x
y
e y
1
72
Exercices
Conseils
A. Cf. cours.
B.3. S’il n’y a pas de frottements R
➞ .v
➞ = 0,
donc R
➞ est normal à la surface.
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • Rappeler l’expression de la force de gravitation
exercée par un point M 1 de masse m 1 sur un point M 2
de masse m 2 . On notera r = M 1 M 2 la distance entre
les points et u
➞
=
le vecteur unitaire orienté de M 1
vers M 2 .
2 • Montrer que cette force dérive d’une énergie potentielle dont on établira l’expression. On choisira l’origine
de l’énergie potentielle lorsque r tend vers l’infini.
On revient à l’étude de la bille.
On néglige les frottements. La réaction normale du support sera notée :
R N
— ➞ = R r e
➞
r + R q e
➞
q + R z e
➞
z .
3 • Justifier sans calcul que R q = 0.
4 • Faire un bilan des forces s’exerçant sur la bille.
Préciser si ces forces dérivent d’une énergie potentielle.
Dans l’affirmative, préciser l’expression de l’énergie
potentielle associée en fonction de la variable r uniquement. On choisira l’origine de l’énergie potentielle lorsque
r tend vers l’infini.
5 • Écrire le principe fondamental de la dynamique et
faire la projection dans la base cylindrique.
En déduire que la quantité r
2
est une constante notée
C.
6 • Exprimer l’énergie mécanique sous la forme :
E m = ma(r)
2 + m
–
. Préciser a(r) en
fonction de k et r.
Que peut-on dire de l’énergie mécanique ?
7 • On peut donc définir une énergie potentielle effective
E peff (r) = m
–
.
Tracer l’allure de la courbe E peff (r).
En fonction de la valeur de l’énergie mécanique initiale du
système E 0 , discuter le caractère lié ou libre du mouvement.
8 • Pour quelle valeur de r a-t-on un mouvement circulaire ?
On exprimera le rayon du mouvement circulaire r C en
fonction de C, g et k.
9 • On lance la bille d’une distance r 0 avec une vitesse v
➞
0 .
Préciser la direction et le module de v
➞
0 pour avoir un
mouvement circulaire.
mgk
r
C
2
r
2
1
2
mgk
r
C
2
r
2
1
2
dr
dt
1
2
dq
dt
—
M 1 M 2
— ➞
r
Orbitogramme de la Villette
D’après Banque Agro-Véto, 2007.
A. Étude cinématique
On considère un référentiel galiléen associé au repère
orthonormé (O, e
➞
x , e
➞
y , e
➞
z ), l’axe Oz est vertical ascendant.
La position d’un point matériel M sera définie par ses
coordonnées cylindriques, r (r 0), q et z.
On notera respectivement e
➞
r et e
➞
q les vecteurs unitaires
déduits de e
➞
x et e
➞
y par rotation d’angle q autour de Oz.
1 • Exprimer OM
— ➞ dans la base cylindrique.
2 • En déduire la vitesse v
➞
(M) dans cette même base.
3 • Montrer que l’accélération peut se mettre sous la
forme :
a
➞
(M)= – r
2 e
➞
r + 2+ r e
➞
q +
e
➞
z .
4 • Montrer que a
➞
.e
➞
q peut s’écrire aussi :
a
➞
.e
➞
q =
r
2
B. Étude dynamique et énergétique
On étudie le mouvement d’une bille d’acier M, de masse
m assimilée à un point matériel sur une surface de révolution. La surface sur laquelle roule la bille est engendrée
par la révolution d’une portion d’hyperbole, z =, k 0.
La bille se comporte sur cette surface comme un corps
céleste soumis à une force de gravitation.
z
r
M
y e z
y e q
y e r
– k
r
dq
dt
d
dt
1
r
d
2
z
dt
2
d
2
q
dt
2
dq
dt
dr
dt
dq
dt
d
2
r
dt
2
z
r
z
z
O
M
y
x
q
y e z
y e z
y e q
y
e r
y
e x
y
e y
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Exercices
Conseils
A. Cf. cours.
B.3. S’il n’y a pas de frottements R
➞ .v
➞ = 0,
donc R
➞ est normal à la surface.