Orbitogramme de la Villette
A. Étude cinématique
1 • OM
— ➞ = re
➞
r + ze
➞
z .
2 • v
➞ = r · e
➞
r + r
·
q e
➞
θ + z · e
➞
z .
3 • a
➞ = r
·· e
➞
r + r · ·
q e
➞
θ + r · ·
q e
➞
θ + rq
·· e
➞
θ – r
·
q 2 e
➞
r + z
·· e
➞
z .
a
➞ = – r
2 e
➞
r + 2+ r e
➞
q +
e
➞
z .
4 • a
➞
.e
➞
θ = 2
+ r
Si on calcule
r 2 = 2r
+ r 2
= ra
➞
.e
➞
θ ,
d’où le résultat demandé.
B. Étude dynamique et énergétique
1 • f
➞
1/2 = –
u
➞
.
2 • f
➞
1/2 = –
u
➞ = –
u
➞
E p (r) = –
à l’origine choisie.
3 • La normale à la surface considérée n’a pas de composante
sur e
➞
θ , donc R q = 0 en l’absence de frottements.
4 • Les forces qui s’exercent sur la bille sont
– le poids mg
➞ qui dérive de l’énergie potentielle
E p = mgz = – mg .
– la réaction R
➞
N qui ne travaille pas.
5 • ma
➞ = R
➞
N + mg
➞
.
En projetant sur la base cylindrique, on obtient :
m – r
2 = R r
m
r 2 = 0
m
= – mg + R z
De la deuxième équation, on déduit que r 2
est une
constante.
r 2
= C.
6 • E m = mv 2 + mgz
= m
2 + r 2
2 +
2 + mgz
dz
dt
dq
dt
dr
dt
1
2
1
2
dq
dt
dq
dt
d 2 z
dt 2
dq
dt
dr
dt
1
r
dq
dt
d 2 r
dt 2
k
r
Gm 1 m 2
r
dE p
dr
Gm 1 m 2
r 2
Gm 1 m 2
r 2
d 2 q
dt 2
dq
dt
dr
dt
dq
dt
d
dt
d 2 q
dt 2
dq
dt
dr
dt
d 2 z
dt 2
d 2 q
dt 2
dq
dt
dr
dt
dq
dt
d 2 r
dt 2
1
r 2
2 =
z = –
d’où
= –
.
E m = m
2 + m
+ m
2 – mg .
On trouve l’expression demandée avec a(r) = 1 + .
3 •
Si E 0 0, l’état est libre.
Si E 0 0, l’état est lié.
8 • Le mouvement est circulaire pour
= 0.
Soit
=
r C =
.
9 • La bille doit être lancée selon e
➞
θ . v
➞
0 = v 0 e
➞
θ .
C = r 2
= r 0 v 0 .
On a aussi r 0 = r C d’où r 0 =
.
v 2
0 =
.
Stabilité d’une trajectoire
circulaire dans un champ
de force en
r
1
n
1 • Pour la trajectoire circulaire, décrite à vitesse angulaire
constante (loi des aires), on a:
m
= – F(r 0 ).
2 • L’équation du mouvement, en projection sur le vecteur
radial, donne :
F(r) = m(¨ r – r
.
q 2 ) = m
¨
r –
= m ¨
r –
.
r 0
2 v 0
2
r 3
C 2
r 3
v 0
2
r 0
2
gk
r 0
r 2
0 v 2
0
gk
dq
dt
C 2
gk
gk
r 2
C 2
r 3
dE peff
dr
E peff
r c
r
k 2
r 4
k
r
dr
dt
k 2
r 4
1
2
C 2
r 2
1
2
dr
dt
1
2
dr
dt
k
r
2
dz
dt
k
r
C 2
r 2
dq
dt
77
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
A. Étude cinématique
1 • OM
— ➞ = re
➞
r + ze
➞
z .
2 • v
➞ = r · e
➞
r + r
·
q e
➞
θ + z · e
➞
z .
3 • a
➞ = r
·· e
➞
r + r · ·
q e
➞
θ + r · ·
q e
➞
θ + rq
·· e
➞
θ – r
·
q 2 e
➞
r + z
·· e
➞
z .
a
➞ = – r
2 e
➞
r + 2+ r e
➞
q +
e
➞
z .
4 • a
➞
.e
➞
θ = 2
+ r
Si on calcule
r 2 = 2r
+ r 2
= ra
➞
.e
➞
θ ,
d’où le résultat demandé.
B. Étude dynamique et énergétique
1 • f
➞
1/2 = –
u
➞
.
2 • f
➞
1/2 = –
u
➞ = –
u
➞
E p (r) = –
à l’origine choisie.
3 • La normale à la surface considérée n’a pas de composante
sur e
➞
θ , donc R q = 0 en l’absence de frottements.
4 • Les forces qui s’exercent sur la bille sont
– le poids mg
➞ qui dérive de l’énergie potentielle
E p = mgz = – mg .
– la réaction R
➞
N qui ne travaille pas.
5 • ma
➞ = R
➞
N + mg
➞
.
En projetant sur la base cylindrique, on obtient :
m – r
2 = R r
m
r 2 = 0
m
= – mg + R z
De la deuxième équation, on déduit que r 2
est une
constante.
r 2
= C.
6 • E m = mv 2 + mgz
= m
2 + r 2
2 +
2 + mgz
dz
dt
dq
dt
dr
dt
1
2
1
2
dq
dt
dq
dt
d 2 z
dt 2
dq
dt
dr
dt
1
r
dq
dt
d 2 r
dt 2
k
r
Gm 1 m 2
r
dE p
dr
Gm 1 m 2
r 2
Gm 1 m 2
r 2
d 2 q
dt 2
dq
dt
dr
dt
dq
dt
d
dt
d 2 q
dt 2
dq
dt
dr
dt
d 2 z
dt 2
d 2 q
dt 2
dq
dt
dr
dt
dq
dt
d 2 r
dt 2
1
r 2
2 =
z = –
d’où
= –
.
E m = m
2 + m
+ m
2 – mg .
On trouve l’expression demandée avec a(r) = 1 + .
3 •
Si E 0 0, l’état est libre.
Si E 0 0, l’état est lié.
8 • Le mouvement est circulaire pour
= 0.
Soit
=
r C =
.
9 • La bille doit être lancée selon e
➞
θ . v
➞
0 = v 0 e
➞
θ .
C = r 2
= r 0 v 0 .
On a aussi r 0 = r C d’où r 0 =
.
v 2
0 =
.
Stabilité d’une trajectoire
circulaire dans un champ
de force en
r
1
n
1 • Pour la trajectoire circulaire, décrite à vitesse angulaire
constante (loi des aires), on a:
m
= – F(r 0 ).
2 • L’équation du mouvement, en projection sur le vecteur
radial, donne :
F(r) = m(¨ r – r
.
q 2 ) = m
¨
r –
= m ¨
r –
.
r 0
2 v 0
2
r 3
C 2
r 3
v 0
2
r 0
2
gk
r 0
r 2
0 v 2
0
gk
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dt
C 2
gk
gk
r 2
C 2
r 3
dE peff
dr
E peff
r c
r
k 2
r 4
k
r
dr
dt
k 2
r 4
1
2
C 2
r 2
1
2
dr
dt
1
2
dr
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k
r
2
dz
dt
k
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C 2
r 2
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Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.