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Forces centrales
conservatives
Interaction newtonienne
ESSENTIEL
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
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LES OBJECTIFS
• Mettre en œuvre les lois de conservation pour
étudier le mouvement de particules dans un champ
newtonien.
LES PRÉREQUIS
• Notions d’énergie, de moment cinétique.
LES OUTILS MATHÉMATIQUES
• Coordonnées polaires, coniques.
Force centrale conservative
Un champ de force centrale conservative de centre O est de la forme F
➞ = F(r) e
➞
r avec :
F(r) = –
, p (r) désignant l’énergie potentielle (définie à une constante près) associée à ce
champ de force.
Un point matériel évoluant dans un tel champ de force décrit une trajectoire plane (notons N
➞ la
normale de ce plan), voit son moment cinétique L
➞
O = mCN
➞ au centre du champ de force et son
énergie mécanique M = K + p (r) conservée au cours du mouvement. Le domaine des valeurs
de r accessible à la trajectoire est défini par P eff
(r) M , où la fonction énergie potentielle
effective est définie par :
p,eff (r) =
+ p (r)
où C est la constante des aires du mouvement plan.
Champ newtonien
• Champ de force
Le champ de force est de la forme F
➞ = – a .L ’énergie potentielle, prise nulle à l’infini, est
alors p (r) = –
a
r
. Le champ est attractif pour a 0, répulsif sinon. La force de gravitation
e
➞
r
r 2
mC 2
2r
2
d p (r)
dr