ESSENTIEL
Forces centrales conservatives. Interaction newtonienne
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
F
➞ = – G
e
➞
r attirant le point matériel de masse m vers un astre de masse M à symétrie sphérique en est un exemple, et permet de comprendre l’essentiel de la mécanique du système solaire,
par exemple.
•C onstantes du mouvement
Soit un mouvement de point matériel dans un champ newtonien de centre O défini par un
champ de force de la forme F
➞ = – a .
Pour ce mouvement le moment cinétique L
➞
O et l’énergie mécanique M se conservent.
Pour un champ de force newtonien de la forme F
➞ = – a , on peut définir le vecteur de RungeLenz A
➞ =
– e
➞
r .
Pour ce mouvement, le vecteur de Runge-Lenz se conserve : il est parallèle au rayon vecteur r
➞
lorsque la distance r au centre O de la force passe par une valeur extrémale, et de norme e,
excentricité de la conique, trajectoire du point matériel.
• Trajectoires
Les équations du mouvement peuvent être résolues exactement, et les trajectoires obtenues sont
des coniques, d’équation polaire r =:
– cas répulsif : e 1, M 0 – branche d’hyperbole (état de diffusion) ;
– cas attractif : e 1, M 0 – ellipse (état lié) ;
e = 1, M = 0 – parabole ;
e 1, M 0 – branche d’hyperbole (état de diffusion).
Pour une trajectoire circulaire de rayon a (plus généralement, pour une ellipse de demi-grand
axe a), l’énergie vaut M = –
2
a
a
.
• Lois de Kepler
Pour le système solaire, où le champ de gravitation solaire est le champ newtonien prépondérant
agissant sur les planètes, des observations astronomiques ont conduit à l’énoncé des trois lois de
Kepler.
Première loi
Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil est un foyer.
Deuxième loi
L’aire balayée par le rayon Soleil-planète est proportionnelle au temps mis pour la décrire (loi des
aires).
Troisième loi
Le rapport
est une constante dans le système solaire.
T
2
a
3
p
1 + e cosq
v
➞ ∧ L
➞
O
a
e
➞
r
r 2
e
➞
r
r 2
mM
r 2