3 • La trajectoire est circulaire si la valeur de l’énergie mécanique correspond juste au minimum de l’énergie potentielle
effective, ce qui impose la relation:
=g.
Penduleàdeux longueurs
1 • Le principe fondamental de la dynamique appliqué àl a
masse m s’écrit :
m
= f
➞
.
En multipliant scalairement par v
➞
,onobtient :
m
v 2 = f
➞
.v
➞
.
f
➞ étant partout définie, f
➞
.v
➞ n’est pas infinie et v 2 est donc une
fonction continue du temps, de même que v.
2 • Lors de la première phase du mouvement, le théorème du
moment cinétique appliqué à m en O donne :
mL 2 ··
q =–mgL sin q
3 • Dans l’hypothèse des petites oscillations, sin q ≈ q.
Soit
··
q + q =0.
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de période
T =2π
1
.
dt 1 correspond au quart de cette période, soit :
dt =
1
.
4 • E M = mv 2 + mgL (1 –cos q).
La tension du fil ne travaille pas donc l’énergie mécanique de
m est constante.
À t =0,onobtient E M = mgL (1 –cos q 0 ).
À t = t –
1 , E M = mv 1
–2 = mgL (1 –cos q 0 ).
v
–
1 = 02gL (1 –cos q 0 )e tw –
1 ==
9
(1 –cos q 0 ).
v –
1
L
2g
L
1
2
1
2
π
2
L
g
L
g
g
L
d
dt
1
2
dv
➞
dt
6
v
2
0
z 0
5 • Au moment du blocage par le clou, il n’y apas de transfert d’énergie, donc
E M = mv 1
–2 = mv 1
+2
v +
1 = v –
1 .
La longueur du pendule devient
donc w +
1 ==
9
(1 –cos q 0 ).
6 • dt II =
1
.
7 • Pendant la deuxième phase
E M = mv 2 + mg
(1 –cos q 0 ).
Àladate t 2 , v =0.
mg
(1 –cos q 2 )=mgL (1 –cos q 0 ).
cos q 2 =– +c os q 0 .
8 • Le pendule redescend alors jusqu’à q =0puis remonte avec la longueur L jusqu’à l’angle q 0 et ainsi de suite.
T =2(dt I +dt II ).
9 •
Le portrait de phase comporte deux décrochements qui
correspondent aux variations brusques de .
1
2
1
2
π
2
2L
3g
3v +
1
2L
3
2
2g
L
2L
3
dq
dt
q
q 2
q 0
dq
dt
1
2
3
2
2L
3
1
2
2L
3
CORRIGÉS
Théorème du momentcinétique
5
68
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
effective, ce qui impose la relation:
=g.
Penduleàdeux longueurs
1 • Le principe fondamental de la dynamique appliqué àl a
masse m s’écrit :
m
= f
➞
.
En multipliant scalairement par v
➞
,onobtient :
m
v 2 = f
➞
.v
➞
.
f
➞ étant partout définie, f
➞
.v
➞ n’est pas infinie et v 2 est donc une
fonction continue du temps, de même que v.
2 • Lors de la première phase du mouvement, le théorème du
moment cinétique appliqué à m en O donne :
mL 2 ··
q =–mgL sin q
3 • Dans l’hypothèse des petites oscillations, sin q ≈ q.
Soit
··
q + q =0.
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique de période
T =2π
1
.
dt 1 correspond au quart de cette période, soit :
dt =
1
.
4 • E M = mv 2 + mgL (1 –cos q).
La tension du fil ne travaille pas donc l’énergie mécanique de
m est constante.
À t =0,onobtient E M = mgL (1 –cos q 0 ).
À t = t –
1 , E M = mv 1
–2 = mgL (1 –cos q 0 ).
v
–
1 = 02gL (1 –cos q 0 )e tw –
1 ==
9
(1 –cos q 0 ).
v –
1
L
2g
L
1
2
1
2
π
2
L
g
L
g
g
L
d
dt
1
2
dv
➞
dt
6
v
2
0
z 0
5 • Au moment du blocage par le clou, il n’y apas de transfert d’énergie, donc
E M = mv 1
–2 = mv 1
+2
v +
1 = v –
1 .
La longueur du pendule devient
donc w +
1 ==
9
(1 –cos q 0 ).
6 • dt II =
1
.
7 • Pendant la deuxième phase
E M = mv 2 + mg
(1 –cos q 0 ).
Àladate t 2 , v =0.
mg
(1 –cos q 2 )=mgL (1 –cos q 0 ).
cos q 2 =– +c os q 0 .
8 • Le pendule redescend alors jusqu’à q =0puis remonte avec la longueur L jusqu’à l’angle q 0 et ainsi de suite.
T =2(dt I +dt II ).
9 •
Le portrait de phase comporte deux décrochements qui
correspondent aux variations brusques de .
1
2
1
2
π
2
2L
3g
3v +
1
2L
3
2
2g
L
2L
3
dq
dt
q
q 2
q 0
dq
dt
1
2
3
2
2L
3
1
2
2L
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CORRIGÉS
Théorème du momentcinétique
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La photocopie non autorisée est un délit.