La conservationdumoment cinétique nous donne :
(R sina)(mv 0 )=(Rsinb )( m v )
et celle de l’énergie mécanique :
mv 0
2 = mv
2 – qV 0 .
On en déduit la relation «deDescartes »:
1sina = n sinb
où l’indice n associéàlasphère de rayon R vaut :
n =
5
1+
=
6
1+
.
2•Àlasortie de la sphère, on retrouve naturellement :
a = a et v = v.
La déviation est D =2(a–b).
On peut déterminer la position de F,car :
x J = R cos(a – D)e ty J =Rsin(a – D).
Donc :
c OF = x F = x J +.
Il est clair que la position de F dépend de l’angle a ,etlesystème n’est donc pas stigmatique pour un faisceaudeparticules homocinétique dirigé parallèlement àl’axe (Ox).
On constateq ue dans les conditions de Gauss, donc pour a
petit, on astigmatisme approché car (a 1) :
b
; D =2(a–b)=2a 1– ;
a–Da –1+ ;y J Ra –1+ ;
=
x F R+=
.
Particuleé voluantdans un cône
1 • La rotationautour de l’axe (Oz)n ous fait naturellement
considérer le moment cinétique du point M par rapport àcet
axe. Celui-ci vaut :
L z =(mr
➞ ∧ v
➞ ).e
➞
z
= m[(re
➞
r + ze
➞
z ) ∧ ( ·
re
➞
r + r
·
q e
➞
q + ·
ze
➞
z )] . e
➞
z = mr
2 ·
q .
Les actions subies par le point M sont son poids, qui est vertical, et la réaction du cône, perpendiculaireàl as urface de
celui-ci, et qui passe donc par l’axe (Oz):l em oment des
actions subies par rapport àl ’axe fixe (Oz)e st nul, donc
L z est une constante du mouvement.
Cette constante est indiquée par les conditions initiales :
L z = mr 0 v 0 = mz 0 (tan a)v 0 .
5
R
2 1– 1
n
–1+
2
n
1–
1
n
R
2
–1+
2
n
1–
1
n
R
2
Ra –1+
2
n
2a 1–
1
n
y J
tan D
1
D
1
tan D
2
n
2
n
1
n
a
n
y J
tan D
qV 0
2 K0
qV 0
mV 0
2
1
2
1
2
On voit donc que le signe de
·
q ne change jamais :l ep oint
M contourne toujours l’axe (Oz)d ans le même sens. De plus
r ne peut pas s’annuler :l ep oint M ne tombe pas au fond
du cône (sauf si L z =0,s oit v 0 =0).
2 • Le poids travaille et dérive de l’énergie potentielle
p = mgz .L ar éaction du cône ne travaillep as. L’énergie
mécanique :
M = m( ·
r 2 + r 2 ·
q 2 + ·
z 2 ) +mgz
est donc aussi une constante du mouvement.
En utilisant l’équation du cône : r = z tan a et l’expression
de L z ,ilvient alors :
M = m(1 +tan 2 a ) ·
z 2 +
+ mgz =cte
on en déduit que l’évolution de l’altitude z est soumise àla
contrainte :
p,eff (z)=
+mgz M
de sorte que z évolue entre z min et z max ,altitudes extrêmes
pour lesquelles l’inégalitéprécédente devient une égalité. Ces
valeurs limites se devinentaisément sur la trajectoire. Notons
qu’avec les conditionsi nitiales proposées, z 0 coïncide avec
l’une de ces valeurs limites.
Doc. 2
0 –3
–3
z max
z min
–2
–2
–1
–1
0
0
1
1
2
2
3
3
1
2
3
Doc. 1
0
1
2
4
6
8
M
p,eff (z)
10
2
z min
z max
345
1
z 2
L
2
z
2m tan 2 a
1
z 2
L
2
z
2m tan 2 a
1
2
1
2
CORRIGÉS
Théorème du moment cinétique
5
67
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
(R sina)(mv 0 )=(Rsinb )( m v )
et celle de l’énergie mécanique :
mv 0
2 = mv
2 – qV 0 .
On en déduit la relation «deDescartes »:
1sina = n sinb
où l’indice n associéàlasphère de rayon R vaut :
n =
5
1+
=
6
1+
.
2•Àlasortie de la sphère, on retrouve naturellement :
a = a et v = v.
La déviation est D =2(a–b).
On peut déterminer la position de F,car :
x J = R cos(a – D)e ty J =Rsin(a – D).
Donc :
c OF = x F = x J +.
Il est clair que la position de F dépend de l’angle a ,etlesystème n’est donc pas stigmatique pour un faisceaudeparticules homocinétique dirigé parallèlement àl’axe (Ox).
On constateq ue dans les conditions de Gauss, donc pour a
petit, on astigmatisme approché car (a 1) :
b
; D =2(a–b)=2a 1– ;
a–Da –1+ ;y J Ra –1+ ;
=
x F R+=
.
Particuleé voluantdans un cône
1 • La rotationautour de l’axe (Oz)n ous fait naturellement
considérer le moment cinétique du point M par rapport àcet
axe. Celui-ci vaut :
L z =(mr
➞ ∧ v
➞ ).e
➞
z
= m[(re
➞
r + ze
➞
z ) ∧ ( ·
re
➞
r + r
·
q e
➞
q + ·
ze
➞
z )] . e
➞
z = mr
2 ·
q .
Les actions subies par le point M sont son poids, qui est vertical, et la réaction du cône, perpendiculaireàl as urface de
celui-ci, et qui passe donc par l’axe (Oz):l em oment des
actions subies par rapport àl ’axe fixe (Oz)e st nul, donc
L z est une constante du mouvement.
Cette constante est indiquée par les conditions initiales :
L z = mr 0 v 0 = mz 0 (tan a)v 0 .
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R
2 1– 1
n
–1+
2
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1–
1
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R
2
–1+
2
n
1–
1
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R
2
Ra –1+
2
n
2a 1–
1
n
y J
tan D
1
D
1
tan D
2
n
2
n
1
n
a
n
y J
tan D
qV 0
2 K0
qV 0
mV 0
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1
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On voit donc que le signe de
·
q ne change jamais :l ep oint
M contourne toujours l’axe (Oz)d ans le même sens. De plus
r ne peut pas s’annuler :l ep oint M ne tombe pas au fond
du cône (sauf si L z =0,s oit v 0 =0).
2 • Le poids travaille et dérive de l’énergie potentielle
p = mgz .L ar éaction du cône ne travaillep as. L’énergie
mécanique :
M = m( ·
r 2 + r 2 ·
q 2 + ·
z 2 ) +mgz
est donc aussi une constante du mouvement.
En utilisant l’équation du cône : r = z tan a et l’expression
de L z ,ilvient alors :
M = m(1 +tan 2 a ) ·
z 2 +
+ mgz =cte
on en déduit que l’évolution de l’altitude z est soumise àla
contrainte :
p,eff (z)=
+mgz M
de sorte que z évolue entre z min et z max ,altitudes extrêmes
pour lesquelles l’inégalitéprécédente devient une égalité. Ces
valeurs limites se devinentaisément sur la trajectoire. Notons
qu’avec les conditionsi nitiales proposées, z 0 coïncide avec
l’une de ces valeurs limites.
Doc. 2
0 –3
–3
z max
z min
–2
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1
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M
p,eff (z)
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2m tan 2 a
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L
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2m tan 2 a
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Théorème du moment cinétique
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.