Ces deux dernières positions ont un sens lorsque l’angle q 0
est défini entre – π et π ,d onc si kR mg ,e td ans ce cas,
pour k 0 2(kR – mg).
On peut retrouver ces conclusions sur les tracés des variations
de p (q)– p (0) dans les trois cas utiles, pour q variant de
– π à π :
Cas. 2. mg kR et k 0 2(kR – mg).
–1
– 0,5
p (q )– p (0)
q /π
1
0,5
Cas. 1. mg kR.
–1
– 0,5
p (q )– p (0)
q /π
1
0,5
Au voisinage d’une position d’équilibreonnote : q = q éq + e .
L’équation du mouvement est alors :
¨
e = – sin(q éq + e)– sin
=0+ – cosq éq –c os e +...
Pour q éq =0,onobtient, àl’ordrelinéaire :
¨
e = – – e .
Cette équation est de la forme ¨
e =–
2 e dans les cas :
[mg kR]e t[ mg kR et k 0 2(kR – mg)] ,p our lesquels cette position d’équilibre, unique, est alors stable. On
obtient ainsi de petites oscillations de période T =
2
π
au
voisinage de q éq =0.
Pour q éq =±q 0 ,l’équation linéariséeest :
¨
e =
e .
Elle est de la forme ¨
e =–
2 e,laposition ± q 0 étant stable
dès lors qu’elle existe.
Déviation d’une particule
parunpuits de potentiel
1 • Àl at raversée du dioptre de rayon R ,l ap articule chargée subit l’effet d’une force radiale, dirigée vers le point O :
sa trajectoire reste dans le plan de figure, le moment cinétique
au point O est conservé.
La force électrique qE
➞ est associée àl ’énergie potentielle
p = qV. L’énergie mécanique M =
1
2
mv 2 + qV est, elle
aussi,conservée.
4
0
2 –4 R–
m
k
g
2
4R R –
m
k
g
k
m
k 0
2mR
g
R
k
m
q éq
2
k 0
2mR
g
R
k
m
q éq + e
2
k 0
mR
g
R
k
m
Cas. 3. mg kR et k 0 2(kR – mg).
–1
– 0,5
p (q)– p (0)
q/π
– qo/π
qo/π
1
0,5
CORRIGÉS
Théorème du momentcinétique
5
66
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.