2 • L’équation (1) s’écrit aussi r ·
r = cte = r 0
·
r 0 ,ouencore
=2r 0 r · .Onendéduit r 2 = 2r 0
·
r 0 t + r 0
2 ,
d’où :
r(t)=92r 0
·
r 0 t+r 0
2 .
On adeplus
·
q ==
,etdonc
·
q 0 =
d’où :
q(t)=
ln t +1 .
En éliminant le temps entre r(t)e tq ( t ),onobtient :
r = r 0 exp q .
Si ·
r 0 ≠ 0,l at rajectoire est une spirale (le faitq ue l’angle
entre le rayon et la tangente àlacourbe soit constant est une
propriété caractéristique des spirales logarithmiques).
Si ·
r 0 = 0,r est constant :latrajectoire est un cercle.
3 • L’énergie de la particule est :
= mv 2 – m
2
+cte.
On am ontré que v =: l’énergie de la particule est
constante, ce qui est naturel puisque la force que l’on adéterminée est bien conservative.
Rappel élastique
le long d’un cercle
1 •
La réaction du support N
➞ = Ne
➞
r étant normaleaucercle,on
peut l’éliminer :
–enu tilisant la relation fondamentale de la dynamique, en
projection sur e
➞
q ;
–e na ppliquant le théorèmed um oment cinétique au point
fixe O,car N
➞ «passe par O »;
–enutilisant la conservation de l’énergie mécanique, le poids
et la traction T
➞ de l’élastique dérivant d’une énergie potentielle, la réaction N
➞ ne travaillant pas (normale àtout instant
àlavitesse de la masselotte).
C
r sin a
1
2r 2
C
sin a
1
2
r 0
·
r 0
C
2 ·
r 0
r 0
C
2r 0
·
r 0
C
r 2
0
C
2r 0
·
r 0 t + r 0
2
C
r 2
d(r 2 )
dt
i T
i N
mi g
i e q
o
q
2
z
A
i e r
q
2
q
3
Méthode 1
Le poids est mg
➞
= mg(cosq e
➞
r –sinq e
➞
).
La traction du ressort est :
T
➞ = k –cos e
➞
r +sin e
➞
,
avec =2Rcos – 0 et q variant entre – π et π.
La relation fondamentale de la dynamique donne, en projection sur e
➞
q :
mR ¨
q =–mg sinq + k R sinq – 0 sin .
Méthode 2
Le moment cinétique en O est L
➞
O = mR 2
.
qe
➞
z .
Le bras de levier associé àlatractiondel’élastique est :
d=Rsin ,son moment en O est donc :
➞
T
➞
/0 = kde
➞
z = k R 2 sinq – q R sin e
➞
z .
Le moment du poids en O est :
➞
mg / O =–mg R sinq e
➞
z .
Le théorème du moment cinétique,a ppliqué en O,d onne
donc :
mR 2¨ q=–mg R sinq + k R 2 sinq – 0 R sin
ce qui est conforme au résultat précédent.
Méthode 3
L’énergie cinétique vaut : K = mR 2
.
q 2 .
L’énergie potentielle est, àu ne constante près (en notant
l’allongement du ressort par rapport àsaposition d’équilibre):
p =–mg R cosq + k 2
=–mgR cosq + k (2R
2
1+cosq –4 0 Rcos + 0
2 ).
En dérivant par rapport au temps l’équation de conservation
de l’énergie K + p =cte ,onretrouve encore l’équation d’évolution de la position du point M .
2 • L’équation du mouvement :
¨
q + – sinq +s in =0
nous indique les positions d’équilibre( ¨
q=0)p our :
sin 2 – cos + =0.
La position d’équilibre q =0 apparaît ici, ainsi éventuellement que les solutions ± q 0 ,oùl’angle q 0 ,compris entre 0
et π ,est donné par :
cos
=.
q 0
2
0
2 R –
m
k
g
q
2
g
R
k
m
q
2
k 0
mR
g
R
k
m
k 0
mR
q
2
q
2
1
2
1
2
1
2
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2
CORRIGÉS
Théorème du moment cinétique
5
65
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La photocopie non autorisée est un délit.
r = cte = r 0
·
r 0 ,ouencore
=2r 0 r · .Onendéduit r 2 = 2r 0
·
r 0 t + r 0
2 ,
d’où :
r(t)=92r 0
·
r 0 t+r 0
2 .
On adeplus
·
q ==
,etdonc
·
q 0 =
d’où :
q(t)=
ln t +1 .
En éliminant le temps entre r(t)e tq ( t ),onobtient :
r = r 0 exp q .
Si ·
r 0 ≠ 0,l at rajectoire est une spirale (le faitq ue l’angle
entre le rayon et la tangente àlacourbe soit constant est une
propriété caractéristique des spirales logarithmiques).
Si ·
r 0 = 0,r est constant :latrajectoire est un cercle.
3 • L’énergie de la particule est :
= mv 2 – m
2
+cte.
On am ontré que v =: l’énergie de la particule est
constante, ce qui est naturel puisque la force que l’on adéterminée est bien conservative.
Rappel élastique
le long d’un cercle
1 •
La réaction du support N
➞ = Ne
➞
r étant normaleaucercle,on
peut l’éliminer :
–enu tilisant la relation fondamentale de la dynamique, en
projection sur e
➞
q ;
–e na ppliquant le théorèmed um oment cinétique au point
fixe O,car N
➞ «passe par O »;
–enutilisant la conservation de l’énergie mécanique, le poids
et la traction T
➞ de l’élastique dérivant d’une énergie potentielle, la réaction N
➞ ne travaillant pas (normale àtout instant
àlavitesse de la masselotte).
C
r sin a
1
2r 2
C
sin a
1
2
r 0
·
r 0
C
2 ·
r 0
r 0
C
2r 0
·
r 0
C
r 2
0
C
2r 0
·
r 0 t + r 0
2
C
r 2
d(r 2 )
dt
i T
i N
mi g
i e q
o
q
2
z
A
i e r
q
2
q
3
Méthode 1
Le poids est mg
➞
= mg(cosq e
➞
r –sinq e
➞
).
La traction du ressort est :
T
➞ = k –cos e
➞
r +sin e
➞
,
avec =2Rcos – 0 et q variant entre – π et π.
La relation fondamentale de la dynamique donne, en projection sur e
➞
q :
mR ¨
q =–mg sinq + k R sinq – 0 sin .
Méthode 2
Le moment cinétique en O est L
➞
O = mR 2
.
qe
➞
z .
Le bras de levier associé àlatractiondel’élastique est :
d=Rsin ,son moment en O est donc :
➞
T
➞
/0 = kde
➞
z = k R 2 sinq – q R sin e
➞
z .
Le moment du poids en O est :
➞
mg / O =–mg R sinq e
➞
z .
Le théorème du moment cinétique,a ppliqué en O,d onne
donc :
mR 2¨ q=–mg R sinq + k R 2 sinq – 0 R sin
ce qui est conforme au résultat précédent.
Méthode 3
L’énergie cinétique vaut : K = mR 2
.
q 2 .
L’énergie potentielle est, àu ne constante près (en notant
l’allongement du ressort par rapport àsaposition d’équilibre):
p =–mg R cosq + k 2
=–mgR cosq + k (2R
2
1+cosq –4 0 Rcos + 0
2 ).
En dérivant par rapport au temps l’équation de conservation
de l’énergie K + p =cte ,onretrouve encore l’équation d’évolution de la position du point M .
2 • L’équation du mouvement :
¨
q + – sinq +s in =0
nous indique les positions d’équilibre( ¨
q=0)p our :
sin 2 – cos + =0.
La position d’équilibre q =0 apparaît ici, ainsi éventuellement que les solutions ± q 0 ,oùl’angle q 0 ,compris entre 0
et π ,est donné par :
cos
=.
q 0
2
0
2 R –
m
k
g
q
2
g
R
k
m
q
2
k 0
mR
g
R
k
m
k 0
mR
q
2
q
2
1
2
1
2
1
2
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2
q
2
CORRIGÉS
Théorème du moment cinétique
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La photocopie non autorisée est un délit.