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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillateur harmonique spatial
1 • La force étant centrale, on sait que le moment cinétique
L
➞
O = OM
— ➞ ∧ mv
➞
est une constante du mouvement, qui alieu
dans le plan contenant O et perpendiculaire à L
➞
O (si L
➞
O est
nul, la trajectoire est plus simplement rectiligne).
Pour le rappel élastique proposé, on a:
m ¨ r
➞
=–kr
➞
ou ¨ r
➞
+ w 2 r
➞
=0
➞
avec w =
1
de sorte que la solution r
➞
(t)e st de la forme :
r
➞
= r
➞
0 cosw(t – t 0 )+
sinw(t – t 0 )
où r
➞
0 et v
➞
0 sont les position et vitesse du point M àl’instant
t 0 .
La trajectoire est donc plane, et dans ce cas précis elliptique,
de centre O.
En choisissant, dans le plan de la trajectoire, les axes x et y
suivant les axes de l’ellipse, on obtient les équations cartésiennes paramétriques proposées.
Notons que x 0 et y 0 sont de même signe si le point M
contourne l’axe (Oz)d ans le sens direct.
2 • L’aire élémentaire balayée pendant dt est,àl’ordre 1endt:
dS== r 2
d t
avec r
2
= x
2
+ y
2
= x 0
2 cos
2
wt + y 0
2 sin
2
wt (doc. 2).
D’autre part :t an q ==
tan wt,
y 0
x 0
y
x
Doc. 2
q
r
rdq
dq
aire dS
y
x
o
dq
dt
1
2
rrdq
2
Doc. 1
y
o
z
x
t vo/w
t ro
v
➞
0
w
k
m
1
donc :
=
.
On adonc :
dS = r 2 (1 +tan 2 q) –1
= x 0 y 0 w dt
et on retrouve :==cte
conformément àl al oi des aires (en utilisant celle-ci, on
aurait pu aussi calculer directementà l’instant t =0 ,c e
qui redonne immédiatement le même résultat).
On peut alors écrire =c te =, ce qui donne l’aire
balayée par la trajectoire :
S = T
= π x 0 y 0 ,q ui est naturellement l’aire
d’une ellipse de demi-grand et petit axes x 0 et y 0 .
Mouvementàf orce centrale
1 • Le point étant soumis àu ne force centrale, son mouvement est plan. On repère sa position dans ce plan par ses coordonnées polaires d’origine O ,lecentre de la force.
On aalors OP
— ➞ = re
➞
r et v
➞ = ·
re
➞
r + r
·
q e
➞
θ .Laconservation du
moment cinétique s’écrit L = mr 2 ·
q = mC .
L’angle a entre OP
— ➞ et v
➞ vérifie :
cos a ==
=
.
En élevant cette équation au carré, on obtient, après calculs
l’équation (1) :
(sin 2 a) ·
r 2 =cos 2 a
.Ondérive cette expression par rapport
au temps, après simplification par 2 ·
r ,onobtient :
(1)
¨
r sin 2 a =–cos 2 a
= f.
Or,larelation fondamentale de la dynamiqueprojetée sur e
➞ r
s’écrit m (¨ r – r
·
q 2 )=m ¨
r–
=f.
En utilisant l’équation (1),onal’expression de f :
f =–m
2
(avec f
➞
= f
➞
e
➞
r ).
Remarque :Onpeut aussi écrireL =mrv sina,
d’où sin a =, puis r 2 (r · 2 + sin 2 a = C 2 .
Tous calculs faits, on retrouve l’équation (1).
C 2
r 2
C
rv
1
r
3
C
sin a
C 2
r 3
C 2
r 3
C 2
r 2
·
r
6
·
r 2 +
C
r
2
r ·
r
r9 ·
r 2 +(r
·
q) 2
OP
— ➞ . v
➞
OP v
2
x 0 y 0 w
2
S
T
dS
dt
dS
dt
x 0 y 0 w
2
dS
dt
1
2
w dt
cos 2 wt
y 0
x 0
1
2
w dt
cos 2 wt
y 0
x 0
dq
cos 2 q
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillateur harmonique spatial
1 • La force étant centrale, on sait que le moment cinétique
L
➞
O = OM
— ➞ ∧ mv
➞
est une constante du mouvement, qui alieu
dans le plan contenant O et perpendiculaire à L
➞
O (si L
➞
O est
nul, la trajectoire est plus simplement rectiligne).
Pour le rappel élastique proposé, on a:
m ¨ r
➞
=–kr
➞
ou ¨ r
➞
+ w 2 r
➞
=0
➞
avec w =
1
de sorte que la solution r
➞
(t)e st de la forme :
r
➞
= r
➞
0 cosw(t – t 0 )+
sinw(t – t 0 )
où r
➞
0 et v
➞
0 sont les position et vitesse du point M àl’instant
t 0 .
La trajectoire est donc plane, et dans ce cas précis elliptique,
de centre O.
En choisissant, dans le plan de la trajectoire, les axes x et y
suivant les axes de l’ellipse, on obtient les équations cartésiennes paramétriques proposées.
Notons que x 0 et y 0 sont de même signe si le point M
contourne l’axe (Oz)d ans le sens direct.
2 • L’aire élémentaire balayée pendant dt est,àl’ordre 1endt:
dS== r 2
d t
avec r
2
= x
2
+ y
2
= x 0
2 cos
2
wt + y 0
2 sin
2
wt (doc. 2).
D’autre part :t an q ==
tan wt,
y 0
x 0
y
x
Doc. 2
q
r
rdq
dq
aire dS
y
x
o
dq
dt
1
2
rrdq
2
Doc. 1
y
o
z
x
t vo/w
t ro
v
➞
0
w
k
m
1
donc :
=
.
On adonc :
dS = r 2 (1 +tan 2 q) –1
= x 0 y 0 w dt
et on retrouve :==cte
conformément àl al oi des aires (en utilisant celle-ci, on
aurait pu aussi calculer directementà l’instant t =0 ,c e
qui redonne immédiatement le même résultat).
On peut alors écrire =c te =, ce qui donne l’aire
balayée par la trajectoire :
S = T
= π x 0 y 0 ,q ui est naturellement l’aire
d’une ellipse de demi-grand et petit axes x 0 et y 0 .
Mouvementàf orce centrale
1 • Le point étant soumis àu ne force centrale, son mouvement est plan. On repère sa position dans ce plan par ses coordonnées polaires d’origine O ,lecentre de la force.
On aalors OP
— ➞ = re
➞
r et v
➞ = ·
re
➞
r + r
·
q e
➞
θ .Laconservation du
moment cinétique s’écrit L = mr 2 ·
q = mC .
L’angle a entre OP
— ➞ et v
➞ vérifie :
cos a ==
=
.
En élevant cette équation au carré, on obtient, après calculs
l’équation (1) :
(sin 2 a) ·
r 2 =cos 2 a
.Ondérive cette expression par rapport
au temps, après simplification par 2 ·
r ,onobtient :
(1)
¨
r sin 2 a =–cos 2 a
= f.
Or,larelation fondamentale de la dynamiqueprojetée sur e
➞ r
s’écrit m (¨ r – r
·
q 2 )=m ¨
r–
=f.
En utilisant l’équation (1),onal’expression de f :
f =–m
2
(avec f
➞
= f
➞
e
➞
r ).
Remarque :Onpeut aussi écrireL =mrv sina,
d’où sin a =, puis r 2 (r · 2 + sin 2 a = C 2 .
Tous calculs faits, on retrouve l’équation (1).
C 2
r 2
C
rv
1
r
3
C
sin a
C 2
r 3
C 2
r 3
C 2
r 2
·
r
6
·
r 2 +
C
r
2
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r
r9 ·
r 2 +(r
·
q) 2
OP
— ➞ . v
➞
OP v
2
x 0 y 0 w
2
S
T
dS
dt
dS
dt
x 0 y 0 w
2
dS
dt
1
2
w dt
cos 2 wt
y 0
x 0
1
2
w dt
cos 2 wt
y 0
x 0
dq
cos 2 q
Corrigés