©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • En utilisant le principe fondamental de la dynamique
(ou théorème du centre d’inertie), montrer que, sous cette
hypothèse, la norme v du vecteur vitesse du mobile est une
fonction continue du temps.
On étudie un pendule simple modifié, présenté sur la figure 1. Un mobile ponctuel M de masse m,e st accroché à
l’extrémité d’un fil inextensible de longueur L et de masse
négligeable, dont l’autre extrémité est fixe en O.Onnéglige tout frottement et on repère l’inclinaison q du brin de fil
soutenant M par rapport àl av erticale.L orsque q 0, le
système se comporte comme un pendule simple de centre
O et de longueur de fil L.Àl av erticale et en dessous de
O,unclou est planté en O avec OO =, qui bloquera la
partie haute du fil vers la gauche :quand q 0, le système
se comporte donc comme un pendule simple de centre O
et de longueur de fil
.Àl ad ate t =0 ,o na bandonne
sans vitesse initiale le mobile M en donnant au fil une
inclinaison initiale q(0) = q 0 0. On note t 1 la date de la
2L
3
L
3
Fig. 1
y u q
y u r
O
O¢
q O
q 2
L/3
2L/3
+
M(m)
(t =0), v 0 =0
(t=t 1 ), q 1 =0
1 e phase
2 e phase
(t = t 2 ), v 2 =0
clou
L
premièrer encontre du fil avec le clou, t 2 la date de première annulation de la vitesse du mobile pour q 0.
L’intervalle de dates [0, t 1 [est nommé premièrephase du
mouvement,l ’intervalle ]t 1 , t 2 ]e st nomméd euxième
phase. Àladate t –
1 immédiatement inférieure à t 1 ,lefil n’a
pas encore touché le clou et àl ad ate t +
1 immédiatement
supérieure,lefil vient de toucher le clou.
2 • Établir l’équation différentielle vérifiée par q pour la
premièrephase du mouvement.
3 • Dans l’hypothèse des petites oscillations, on suppose
que sin q q.R econnaître l’équation différentielle d’un
certain type d’oscillateur et en déduire, sans résoudre l’équation, la durée dt I de la premièrephase du mouvement.
4 • En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse v de M àl ad ate t
–
1 .E nd éduire la vitesse
angulaire w
–
1 =à cette date.
5 • Le blocage de la partie supérieure du fil par le clou ne
s’accompagne d’aucun transfert énergétique. Déterminer
la vitesse v +
1 de M àladate t
+
1 .Endéduire la vitesse angulaire w
+
1 =à cette date.
6 • En utilisant le résultat des questions 2 et 3,donner sans
calcul la durée dt II de la deuxième phase.
7 • Déterminer l’expression de l’angle q 2 àladate t 2 .
8 • Décrire brièvement la suite du mouvement de ce système et donner l’expression de sa période T.
9 • Dresser l’allure du portrait de phase, dans le système
d’axes q, .
dq
dt
dq
dt
dq
dt
EXERCICES
Théorème du momentcinétique
5
63
La photocopie non autorisée est un délit.
1 • En utilisant le principe fondamental de la dynamique
(ou théorème du centre d’inertie), montrer que, sous cette
hypothèse, la norme v du vecteur vitesse du mobile est une
fonction continue du temps.
On étudie un pendule simple modifié, présenté sur la figure 1. Un mobile ponctuel M de masse m,e st accroché à
l’extrémité d’un fil inextensible de longueur L et de masse
négligeable, dont l’autre extrémité est fixe en O.Onnéglige tout frottement et on repère l’inclinaison q du brin de fil
soutenant M par rapport àl av erticale.L orsque q 0, le
système se comporte comme un pendule simple de centre
O et de longueur de fil L.Àl av erticale et en dessous de
O,unclou est planté en O avec OO =, qui bloquera la
partie haute du fil vers la gauche :quand q 0, le système
se comporte donc comme un pendule simple de centre O
et de longueur de fil
.Àl ad ate t =0 ,o na bandonne
sans vitesse initiale le mobile M en donnant au fil une
inclinaison initiale q(0) = q 0 0. On note t 1 la date de la
2L
3
L
3
Fig. 1
y u q
y u r
O
O¢
q O
q 2
L/3
2L/3
+
M(m)
(t =0), v 0 =0
(t=t 1 ), q 1 =0
1 e phase
2 e phase
(t = t 2 ), v 2 =0
clou
L
premièrer encontre du fil avec le clou, t 2 la date de première annulation de la vitesse du mobile pour q 0.
L’intervalle de dates [0, t 1 [est nommé premièrephase du
mouvement,l ’intervalle ]t 1 , t 2 ]e st nomméd euxième
phase. Àladate t –
1 immédiatement inférieure à t 1 ,lefil n’a
pas encore touché le clou et àl ad ate t +
1 immédiatement
supérieure,lefil vient de toucher le clou.
2 • Établir l’équation différentielle vérifiée par q pour la
premièrephase du mouvement.
3 • Dans l’hypothèse des petites oscillations, on suppose
que sin q q.R econnaître l’équation différentielle d’un
certain type d’oscillateur et en déduire, sans résoudre l’équation, la durée dt I de la premièrephase du mouvement.
4 • En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse v de M àl ad ate t
–
1 .E nd éduire la vitesse
angulaire w
–
1 =à cette date.
5 • Le blocage de la partie supérieure du fil par le clou ne
s’accompagne d’aucun transfert énergétique. Déterminer
la vitesse v +
1 de M àladate t
+
1 .Endéduire la vitesse angulaire w
+
1 =à cette date.
6 • En utilisant le résultat des questions 2 et 3,donner sans
calcul la durée dt II de la deuxième phase.
7 • Déterminer l’expression de l’angle q 2 àladate t 2 .
8 • Décrire brièvement la suite du mouvement de ce système et donner l’expression de sa période T.
9 • Dresser l’allure du portrait de phase, dans le système
d’axes q, .
dq
dt
dq
dt
dq
dt
EXERCICES
Théorème du momentcinétique
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