©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillateur harmonique spatial
Un point matériel de masse m est soumis àl af orce
F
➞ =–kr
➞ .
1 • Montrer qu’un choix approprié d’axes (O, x, y, z)e t
d’origine des temps permet de décrire le mouvement par :
x(t)=x 0 coswt
y(t)=y 0 sinwt
z(t)=0
2•Quelle est la constante des aires associée àcemouvement ?Quelle est l’aire balayée par le rayon OM
— ➞ = r
➞ sur
une période ?
*Mouvementàf orce centrale
On observe le mouvement d’une particule P soumise à
une force centrale et on remarque que l’angle a entre le
rayon vecteur OP
— ➞ et le vecteur vitesse v
➞ est constant.
1 • Montrer que la force est donnée par :
f
➞
=–m
2
e
➞
r ,
où C est la constante des aires C = .
2 • Trouver une intégrale premièred um ouvement (sans
utiliser la conservationd el ’énergie). Déterminer l’équation polaire de la trajectoire. On prendra comme conditions initiales r = r 0 , ·
r = ·
r 0 et q = 0,
·
q 0 ≠ 0.
3•Déterminerl’énergie de la particule. Est-elle conservée ?
L
m
1
r 3
C
sin a
2
1
Rappelélastique
le long d’un cercle
Une masselotte,assimilée àunpoint matériel M de masse
m,est assujettie àglisser sans frottement sur un cercle vertical de centre O et rayon R.
Elle est reliée au point A par un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos 0 .
1 • Établir par trois méthodes différentesl ’équation du
mouvement du point M.
2 • Discuter les équilibres, leur stabilité, et indiquer éventuellement la période des petites oscillations.
*Déviation d’une particule
par un puits de potentiel
Une particule de charge q 0, mobile àl av itesse v 0
dans une région de l’espace où le potentiel électrostatique
est nul (par convention), pénètre àl’intérieurd’une sphère
de rayon R où le potentiel est – V 0 ,a cquérant ainsi
l’énergie potentielle P =–qV 0 .(On suppose V 0 0.)
On admettra que l’on peut parvenir àcerésultat avec deux
grilles sphériques métalliques concentriques très proches
t
v 0
t
v
t
v
a
F
o
N
x
z .
o
N
a
b
b
R
I
O
R
J
D
4
3
t
g
O
A
M
61
Exercices
Conseil
L’équation du mouvement peut être aisément résolue.
On pourra aussi utiliser la conservation associée au
caractère central de la force subie.
Conseils
1) On rappelle que l’angle a entre deux vecteurs a
➞
et b
➞ vérifie cosa =
a
➞
a
.
b
b
➞
ou sina =
a
➞
a
b
b
➞
.
Utiliser l’hypothèse de l’énoncé et la conservation du
moment cinétique en O pour établir une relation
entre ¨
r, r et les constantes du mouvement. En déduire la loi de force (grâce àlarelation fondamentalede
la dynamique).
2) Déduire des calculs de la question précédente que
r ·
r = cte .E nd éduire r(t),p uis q(t)e té liminer le
temps entre ces deux expressions pour obtenir r(q).
3) Utiliser l’expression de sina en fonction de r et v .
Conseil
1) Une seule variable, l’angle q (t), décrit l’état du
système. Il faut donc trouver une équation qui ne fait
pas apparaître la réaction du cercle.
La photocopie non autorisée est un délit.
Oscillateur harmonique spatial
Un point matériel de masse m est soumis àl af orce
F
➞ =–kr
➞ .
1 • Montrer qu’un choix approprié d’axes (O, x, y, z)e t
d’origine des temps permet de décrire le mouvement par :
x(t)=x 0 coswt
y(t)=y 0 sinwt
z(t)=0
2•Quelle est la constante des aires associée àcemouvement ?Quelle est l’aire balayée par le rayon OM
— ➞ = r
➞ sur
une période ?
*Mouvementàf orce centrale
On observe le mouvement d’une particule P soumise à
une force centrale et on remarque que l’angle a entre le
rayon vecteur OP
— ➞ et le vecteur vitesse v
➞ est constant.
1 • Montrer que la force est donnée par :
f
➞
=–m
2
e
➞
r ,
où C est la constante des aires C = .
2 • Trouver une intégrale premièred um ouvement (sans
utiliser la conservationd el ’énergie). Déterminer l’équation polaire de la trajectoire. On prendra comme conditions initiales r = r 0 , ·
r = ·
r 0 et q = 0,
·
q 0 ≠ 0.
3•Déterminerl’énergie de la particule. Est-elle conservée ?
L
m
1
r 3
C
sin a
2
1
Rappelélastique
le long d’un cercle
Une masselotte,assimilée àunpoint matériel M de masse
m,est assujettie àglisser sans frottement sur un cercle vertical de centre O et rayon R.
Elle est reliée au point A par un ressort de constante de raideur k et de longueur au repos 0 .
1 • Établir par trois méthodes différentesl ’équation du
mouvement du point M.
2 • Discuter les équilibres, leur stabilité, et indiquer éventuellement la période des petites oscillations.
*Déviation d’une particule
par un puits de potentiel
Une particule de charge q 0, mobile àl av itesse v 0
dans une région de l’espace où le potentiel électrostatique
est nul (par convention), pénètre àl’intérieurd’une sphère
de rayon R où le potentiel est – V 0 ,a cquérant ainsi
l’énergie potentielle P =–qV 0 .(On suppose V 0 0.)
On admettra que l’on peut parvenir àcerésultat avec deux
grilles sphériques métalliques concentriques très proches
t
v 0
t
v
t
v
a
F
o
N
x
z .
o
N
a
b
b
R
I
O
R
J
D
4
3
t
g
O
A
M
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Exercices
Conseil
L’équation du mouvement peut être aisément résolue.
On pourra aussi utiliser la conservation associée au
caractère central de la force subie.
Conseils
1) On rappelle que l’angle a entre deux vecteurs a
➞
et b
➞ vérifie cosa =
a
➞
a
.
b
b
➞
ou sina =
a
➞
a
b
b
➞
.
Utiliser l’hypothèse de l’énoncé et la conservation du
moment cinétique en O pour établir une relation
entre ¨
r, r et les constantes du mouvement. En déduire la loi de force (grâce àlarelation fondamentalede
la dynamique).
2) Déduire des calculs de la question précédente que
r ·
r = cte .E nd éduire r(t),p uis q(t)e té liminer le
temps entre ces deux expressions pour obtenir r(q).
3) Utiliser l’expression de sina en fonction de r et v .
Conseil
1) Une seule variable, l’angle q (t), décrit l’état du
système. Il faut donc trouver une équation qui ne fait
pas apparaître la réaction du cercle.