*Système auto-excité;
oscillateur de Vander Pol
1 • Préliminaire
a) L’équation caractéristique est :
r 2 +
r + w 0
2 =0
Δ=w 0
2
–4 .
Lorsque Q 0, on peut obtenir :
•deux racines réelles et négatives pour Q
1
2
;
•une racine double – w 0 ,négative, pour Q =
1
2
;
•deux racines complexes conjuguées, de partie réelle :
–n égative, pour Q .
Dans tous les cas, le terme en
.
x,q ui correspond àu nf rottement (fluide),c onduit àu ne solution qui tend vers zéro. La
nature du régime transitoire dépend de Q,mais le régime final
est le même pour tous les Q positifs.
b) Pour Q 0, on obtient maintenant :
•deux racines réelles positives pour Q –
1
2
;
•une racine double + w 0 ,positive, pour Q =–
1
2
;
•deux racines complexes conjuguées, de partie réelle :
–p ositive, pour Q –.
Cette fois, les solutions obtenues sont divergentes :l es ystème est instable.
c) Le cas limite séparant les deux comportements correspond
àl’inversiondesigne du terme en
.
x ,ilcorrespond donc au cas
limite
Q
1
=0,c’est-à-direàl’oscillateur harmonique :iln’est
pas amorti,son facteur de qualité estinfini.
2 • a) Lorsque x est inférieur à x 0 ,l et erme en
.
x est
négatif, et on peut attendre une amplification du signal.
Lorsque x est supérieur à x 0 ,c ’est l’inverse. Ceci permet,
très qualitativement, de comprendre que l’amplitude d’oscillationa rrive às es tabiliser àu ne valeur qui n’est ni nulle,
ni infinie, comme l’indique la simulation.
1
Q 2
w 0
Q
10
w 0
2
1
2
w 0
2Q
1
2
b) L’existence d’une limite d’évolution est confirmée par les
trajectoires de phase :dans tous les cas, le système tend vers
un cycle limite,indépendamment des conditions initiales.
L’équation n’est pas linéaire, et les oscillations observées ne
sont pas harmoniques. On note toutefois que pour Q élevé, le
terme en ·
x reste assez faible :l er égime limite est long à
atteindre,mais les oscillationsobtenues sont alors quasi-sinusoïdales.
3 • a) Sur la simulation obtenue pour Q =1 0, il apparaît un
cycle limite presque circulaire,d er ayon égal à2:c ’est la
signature d’un mouvement quasi sinusoïdal, d’amplitude
X m ≈ 2 x 0 .
b) On reprend l’équation du mouvement de l’oscillateur et on
introduit la solution proposée :
x 0[ –2w 0
2 cosw 0 t+
..
B(t)] + ew 0 x 0 [4cos
2 (w 0 t) – 1
+ 8cos(w 0 t)B(t) +B 2 (t)][–2 sinw 0 t+
.
B(t)]
+w 0
2 x 0 [2cosw 0 t+B(t)]=0.
Le terme d’ordre 0enese simplifie :cela confirme la valeur
choisiepour A : A =2.
Àl ’ordre 1e ne(donc en ne gardant que e, B(t)e ts es
dérivées) : ..
B(t)+w 0
2 B(t)=+2ew 0
2 sin(3w 0 t).
c) La solution B(t)contient donc :
–u nt erme éventuel de pulsation w 0 qui s’ajoutea ut erme
Ax 0 cos(w 0 t), ce qui modifie légèrement A,par une correction
d’ordre 1;ceterme dépenddes conditions initiales ;
–enrégime, établi, il yaunterme de pulsation 3w 0 :
B(t)=
sin(3w 0 t)=– sin 3w 0 t.
Le terme correctif B(t)f ait donc apparaîtreu ne pulsation
triple de la pulsation de base (en plus d’éventuels nouveaux
termes de pulsation w 0 ).
Cet oscillateur non harmonique n’a pas une évolution purement sinusoïdale, ni même périodique, le régime transitoire
durant un temps infini. Ce qui aé té construit n’est qu’une
approximation mettant en évidence l’existenced es harmoniques w 0 et 3w 0 au bout d’un temps «suffisamment»long.
+2ew 0
2
(– 9+1)w 0
2
e
4
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
58
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
oscillateur de Vander Pol
1 • Préliminaire
a) L’équation caractéristique est :
r 2 +
r + w 0
2 =0
Δ=w 0
2
–4 .
Lorsque Q 0, on peut obtenir :
•deux racines réelles et négatives pour Q
1
2
;
•une racine double – w 0 ,négative, pour Q =
1
2
;
•deux racines complexes conjuguées, de partie réelle :
–n égative, pour Q .
Dans tous les cas, le terme en
.
x,q ui correspond àu nf rottement (fluide),c onduit àu ne solution qui tend vers zéro. La
nature du régime transitoire dépend de Q,mais le régime final
est le même pour tous les Q positifs.
b) Pour Q 0, on obtient maintenant :
•deux racines réelles positives pour Q –
1
2
;
•une racine double + w 0 ,positive, pour Q =–
1
2
;
•deux racines complexes conjuguées, de partie réelle :
–p ositive, pour Q –.
Cette fois, les solutions obtenues sont divergentes :l es ystème est instable.
c) Le cas limite séparant les deux comportements correspond
àl’inversiondesigne du terme en
.
x ,ilcorrespond donc au cas
limite
Q
1
=0,c’est-à-direàl’oscillateur harmonique :iln’est
pas amorti,son facteur de qualité estinfini.
2 • a) Lorsque x est inférieur à x 0 ,l et erme en
.
x est
négatif, et on peut attendre une amplification du signal.
Lorsque x est supérieur à x 0 ,c ’est l’inverse. Ceci permet,
très qualitativement, de comprendre que l’amplitude d’oscillationa rrive às es tabiliser àu ne valeur qui n’est ni nulle,
ni infinie, comme l’indique la simulation.
1
Q 2
w 0
Q
10
w 0
2
1
2
w 0
2Q
1
2
b) L’existence d’une limite d’évolution est confirmée par les
trajectoires de phase :dans tous les cas, le système tend vers
un cycle limite,indépendamment des conditions initiales.
L’équation n’est pas linéaire, et les oscillations observées ne
sont pas harmoniques. On note toutefois que pour Q élevé, le
terme en ·
x reste assez faible :l er égime limite est long à
atteindre,mais les oscillationsobtenues sont alors quasi-sinusoïdales.
3 • a) Sur la simulation obtenue pour Q =1 0, il apparaît un
cycle limite presque circulaire,d er ayon égal à2:c ’est la
signature d’un mouvement quasi sinusoïdal, d’amplitude
X m ≈ 2 x 0 .
b) On reprend l’équation du mouvement de l’oscillateur et on
introduit la solution proposée :
x 0[ –2w 0
2 cosw 0 t+
..
B(t)] + ew 0 x 0 [4cos
2 (w 0 t) – 1
+ 8cos(w 0 t)B(t) +B 2 (t)][–2 sinw 0 t+
.
B(t)]
+w 0
2 x 0 [2cosw 0 t+B(t)]=0.
Le terme d’ordre 0enese simplifie :cela confirme la valeur
choisiepour A : A =2.
Àl ’ordre 1e ne(donc en ne gardant que e, B(t)e ts es
dérivées) : ..
B(t)+w 0
2 B(t)=+2ew 0
2 sin(3w 0 t).
c) La solution B(t)contient donc :
–u nt erme éventuel de pulsation w 0 qui s’ajoutea ut erme
Ax 0 cos(w 0 t), ce qui modifie légèrement A,par une correction
d’ordre 1;ceterme dépenddes conditions initiales ;
–enrégime, établi, il yaunterme de pulsation 3w 0 :
B(t)=
sin(3w 0 t)=– sin 3w 0 t.
Le terme correctif B(t)f ait donc apparaîtreu ne pulsation
triple de la pulsation de base (en plus d’éventuels nouveaux
termes de pulsation w 0 ).
Cet oscillateur non harmonique n’a pas une évolution purement sinusoïdale, ni même périodique, le régime transitoire
durant un temps infini. Ce qui aé té construit n’est qu’une
approximation mettant en évidence l’existenced es harmoniques w 0 et 3w 0 au bout d’un temps «suffisamment»long.
+2ew 0
2
(– 9+1)w 0
2
e
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CORRIGÉS
Oscillateurs
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58
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La photocopie non autorisée est un délit.