Lorsque Q
,lapulsation de résonance :
w r = w 0 5
1–
est d’autant plus proche de la pulsation propre w 0 que le facteur de qualité est élevé.
Àl ar ésonance, l’amplituder este limitée lorsqu’on tient
compte du frottement.
4 •
Pour étendre au maximum la zone dans laquelle X m ne
varie pas trop, il faut ajuster l’amortissement pour obtenir :
X m, max = X m, 0 (1 +1 0% )=1,1 X m, 0 ,l ab ande de pulsation
acceptée allant alors de 0àw 1 .
Àl ar ésonance, X m, max = X m, 0
,o ne nd éduit
que le facteur de qualité doit être ajusté au voisinage de
Q =0,9 (Q =0,6 ne convient pas car Q
).
1
12
Doc. 3
Y m
W
2
w 0
2
x m
Q> 1
12
Q<
w r
w
1
12
1
2Q 2
1
12
Doc. 4
w 0
j
– π
– π
2
o
Q élevé
Q faible
w
Doc. 5
y m
W
2
w 0
2
X m
X m/max
X m/0 =
w 1
w
Q
5
1–
4Q
1
2
Oscillateur paramétrique
1 • L’accélérationdupoint M est :
a
➞ (M)=
= r a (o) + ¨
q e
➞
q –
.
q 2 e
➞
r ,avec ici a
➞
(o) = 0
➞ .
La tension du fil est radiale( fil idéal), donce np rojetant
l’équation du mouvement sur e
➞
q ,ilvient :
m ¨
q =–mg sinq.
Pour les petits mouvements, l’équation linéarisée :
¨
q + q =0
est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre :
w 0 =
1
.
2 • a) Il faut maintenant prendre en compte l’accélération :
a
➞ (o) =–D m w 2 coswte
➞ x
ce qui donne la nouvelle équation du mouvement :
m( ¨
q + D m w 2 coswt sinq)=–mg sinq.
Celle-ci est bien de la forme demandée, avec :
h(t)=
coswt.
b) Pour de petits angles, l’équation du mouvement peut s’écrire :
¨
q + w 0
2 q =–
coswt q
qui s’apparente àune équation d’oscillateur harmonique excité.
Le terme excitation fait cependant intervenir l’état de l’oscillateur lui-même.
Pour un second membre très faible, le mouvement doit être
une oscillation de pulsation w 0 que vient perturber le terme
excitateur.Sionpose : q(t)=Acos(w 0 t + j), on voit que le
terme excitateursecomporte comme :
cos(wt)cos(w 0 t + j)=
1
2
cos((w – w 0 )t – j)+ 1
2
cos((w + w 0 )t + j)
et peut mettre l’oscillateur en résonance s’il contient un terme
de pulsation w 0 ,c eq ui correspond au cas w =2 w 0 (si
w =0 ,o ne st ramené àl aq uestion 1),i ln ’y ap as d’excitation). Ce raisonnement qualitatif permetdeprévoir une résonance paramétriquep uis une excitationd ep ulsation double
de la pulsation propre de l’oscillateur.
c) Au début, l’oscillateur est excité àl ar ésonance paramétrique :son amplitude augmente donc...
Lorsque son amplitude augmente, l’approximation des petits
angles cesse d’êtres atisfaisante, et sa période propre augmente. Il n’y aalors plus de résonance paramétrique et l’amplitude de l’oscillateur excité est moins importante...
Si l’amplitude d’oscillation diminue, la pulsation propre augmente un peu, et la condition de résonance se retrouve réalisée... et ainsi de suite.
d 2 OM
— ➞
dt 2
9
D m
w 2
w 0
2
D m
w 2
w 0
2
g
g
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
57
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
,lapulsation de résonance :
w r = w 0 5
1–
est d’autant plus proche de la pulsation propre w 0 que le facteur de qualité est élevé.
Àl ar ésonance, l’amplituder este limitée lorsqu’on tient
compte du frottement.
4 •
Pour étendre au maximum la zone dans laquelle X m ne
varie pas trop, il faut ajuster l’amortissement pour obtenir :
X m, max = X m, 0 (1 +1 0% )=1,1 X m, 0 ,l ab ande de pulsation
acceptée allant alors de 0àw 1 .
Àl ar ésonance, X m, max = X m, 0
,o ne nd éduit
que le facteur de qualité doit être ajusté au voisinage de
Q =0,9 (Q =0,6 ne convient pas car Q
).
1
12
Doc. 3
Y m
W
2
w 0
2
x m
Q> 1
12
Q<
w r
w
1
12
1
2Q 2
1
12
Doc. 4
w 0
j
– π
– π
2
o
Q élevé
Q faible
w
Doc. 5
y m
W
2
w 0
2
X m
X m/max
X m/0 =
w 1
w
Q
5
1–
4Q
1
2
Oscillateur paramétrique
1 • L’accélérationdupoint M est :
a
➞ (M)=
= r a (o) + ¨
q e
➞
q –
.
q 2 e
➞
r ,avec ici a
➞
(o) = 0
➞ .
La tension du fil est radiale( fil idéal), donce np rojetant
l’équation du mouvement sur e
➞
q ,ilvient :
m ¨
q =–mg sinq.
Pour les petits mouvements, l’équation linéarisée :
¨
q + q =0
est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation propre :
w 0 =
1
.
2 • a) Il faut maintenant prendre en compte l’accélération :
a
➞ (o) =–D m w 2 coswte
➞ x
ce qui donne la nouvelle équation du mouvement :
m( ¨
q + D m w 2 coswt sinq)=–mg sinq.
Celle-ci est bien de la forme demandée, avec :
h(t)=
coswt.
b) Pour de petits angles, l’équation du mouvement peut s’écrire :
¨
q + w 0
2 q =–
coswt q
qui s’apparente àune équation d’oscillateur harmonique excité.
Le terme excitation fait cependant intervenir l’état de l’oscillateur lui-même.
Pour un second membre très faible, le mouvement doit être
une oscillation de pulsation w 0 que vient perturber le terme
excitateur.Sionpose : q(t)=Acos(w 0 t + j), on voit que le
terme excitateursecomporte comme :
cos(wt)cos(w 0 t + j)=
1
2
cos((w – w 0 )t – j)+ 1
2
cos((w + w 0 )t + j)
et peut mettre l’oscillateur en résonance s’il contient un terme
de pulsation w 0 ,c eq ui correspond au cas w =2 w 0 (si
w =0 ,o ne st ramené àl aq uestion 1),i ln ’y ap as d’excitation). Ce raisonnement qualitatif permetdeprévoir une résonance paramétriquep uis une excitationd ep ulsation double
de la pulsation propre de l’oscillateur.
c) Au début, l’oscillateur est excité àl ar ésonance paramétrique :son amplitude augmente donc...
Lorsque son amplitude augmente, l’approximation des petits
angles cesse d’êtres atisfaisante, et sa période propre augmente. Il n’y aalors plus de résonance paramétrique et l’amplitude de l’oscillateur excité est moins importante...
Si l’amplitude d’oscillation diminue, la pulsation propre augmente un peu, et la condition de résonance se retrouve réalisée... et ainsi de suite.
d 2 OM
— ➞
dt 2
9
D m
w 2
w 0
2
D m
w 2
w 0
2
g
g
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
57
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.