Soit
=
=
avec w 0 =
1
w 1 =e t Q =.
b) w 0 =10rads –1 . w 1 =25rads –1 Q =2,5.
c) =
b) Si w ≈ w 0 v == 1,59 ms –1 =5,7 km/h.
Alors Z =27cm.
7. Pour w 0 ≈ 25 s –1 v ≈ 14,3 km/h donne l’amplitudem aximale des oscillations.P our éviter d’avoir une trop grande
amplitude de vibration, il faudra donc choisir une vitesse faible ( 5km/h) ou une vitesse élevée ( 50 km/h), en fait en
dehors de la bosse formée par log .
Réponse harmonique stabilisée
1 • Pour de petits angles, le vecteur e
➞
x est pratiquement
confondu avec le vecteur e
➞
q ,etles tensions des ressorts donnent des efforts pratiquement horizontaux. En projection sur
e
➞
q ,l’équation du mouvement nous donne, la force de traction
du fil étant radiale :
m ¨
q =–mgq – k(x + – 0 )+k(–x– 0 )
soit, avec x = q pour de petits angles :
¨ x + w 0
2 x =0 avec w 0 =
5
+.
2 • Dans l’équation du mouvement, le terme k(x + – 0 )
devient ici k(x + – y – 0 ), donc :
¨ x + w 0
2 x =
2
y .
On en déduit, en supposant un régime permanent sinusoïdal
de pulsation w établi (il faudrait donc en toute rigueur un
petit peu de frottement) :
Z
A
Lw 0
2π
log w
log
z
A
( )
log w O
1+
1/2
1–
2 +
1/2
w 2
w 2
1
w 2
Q 2 w 2
0
w 2
w 2
0
Z
A
5Mk
l
k
l
k
M
1+j
1–
+j
w
w 1
w
Qw 0
w 2
w 2
0
+
–w
2
+jw
+
jwl
M
k
M
k
M
l
M
Z
A
8
g
L
2k
m
x(t)=
Y m coswt = X m cos(wt + j)
avec X m =
Y m et
3 • En notant
=, il vient :
¨ x +
.
x + w 0
2 x =
2 y .
En utilisantlanotation complexe, on obtient :
x = X m e jj =
y
et donc en notation réelle :
x(t)=X m cos(wt + j)
avec :
X m =
Y m
e j j =
.
On obtient alors les courbes suivantes (doc. 4et5):
w 0
Q
2
w 0
2 –w 2
2
w 0
2 – w 2
j =0si0ww 0
j=–psi w w 0
x m
Y m
w 0
W
2
w 0
2
w
Doc. 1
Doc. 2
w 0
j
– π
o
w
h
m
w 0
Q
2
– w 2 + j
w
Q
w 0
+ w 0
2
2
9
w 2 – w 0
2
2 +
w
Q
w 0
2
w 0
2 – w 2 –j
w
Q
w 0
9
w 2 –w 0
2
2 +
w
Q
w 0
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
56
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
=
=
avec w 0 =
1
w 1 =e t Q =.
b) w 0 =10rads –1 . w 1 =25rads –1 Q =2,5.
c) =
b) Si w ≈ w 0 v == 1,59 ms –1 =5,7 km/h.
Alors Z =27cm.
7. Pour w 0 ≈ 25 s –1 v ≈ 14,3 km/h donne l’amplitudem aximale des oscillations.P our éviter d’avoir une trop grande
amplitude de vibration, il faudra donc choisir une vitesse faible ( 5km/h) ou une vitesse élevée ( 50 km/h), en fait en
dehors de la bosse formée par log .
Réponse harmonique stabilisée
1 • Pour de petits angles, le vecteur e
➞
x est pratiquement
confondu avec le vecteur e
➞
q ,etles tensions des ressorts donnent des efforts pratiquement horizontaux. En projection sur
e
➞
q ,l’équation du mouvement nous donne, la force de traction
du fil étant radiale :
m ¨
q =–mgq – k(x + – 0 )+k(–x– 0 )
soit, avec x = q pour de petits angles :
¨ x + w 0
2 x =0 avec w 0 =
5
+.
2 • Dans l’équation du mouvement, le terme k(x + – 0 )
devient ici k(x + – y – 0 ), donc :
¨ x + w 0
2 x =
2
y .
On en déduit, en supposant un régime permanent sinusoïdal
de pulsation w établi (il faudrait donc en toute rigueur un
petit peu de frottement) :
Z
A
Lw 0
2π
log w
log
z
A
( )
log w O
1+
1/2
1–
2 +
1/2
w 2
w 2
1
w 2
Q 2 w 2
0
w 2
w 2
0
Z
A
5Mk
l
k
l
k
M
1+j
1–
+j
w
w 1
w
Qw 0
w 2
w 2
0
+
–w
2
+jw
+
jwl
M
k
M
k
M
l
M
Z
A
8
g
L
2k
m
x(t)=
Y m coswt = X m cos(wt + j)
avec X m =
Y m et
3 • En notant
=, il vient :
¨ x +
.
x + w 0
2 x =
2 y .
En utilisantlanotation complexe, on obtient :
x = X m e jj =
y
et donc en notation réelle :
x(t)=X m cos(wt + j)
avec :
X m =
Y m
e j j =
.
On obtient alors les courbes suivantes (doc. 4et5):
w 0
Q
2
w 0
2 –w 2
2
w 0
2 – w 2
j =0si0ww 0
j=–psi w w 0
x m
Y m
w 0
W
2
w 0
2
w
Doc. 1
Doc. 2
w 0
j
– π
o
w
h
m
w 0
Q
2
– w 2 + j
w
Q
w 0
+ w 0
2
2
9
w 2 – w 0
2
2 +
w
Q
w 0
2
w 0
2 – w 2 –j
w
Q
w 0
9
w 2 –w 0
2
2 +
w
Q
w 0
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
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©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.