sont périodiques, mais non harmoniques. Ces deux courbes
correspondent àune énergie totale du système inférieure à0.
La courbe (3) est en fait composée de deux trajectoires (deux
séparatrices), elles s’arrêtent àlaposition d’équilibre instable
(0 ,0).Elles correspondent àune énergie totale nulle.
La courbe (4) représente un mouvement périodique de grande
amplitude, non harmonique ;elle correspondàu ne énergie
totale positive et entoure les trois points singuliers.
b)L es trajectoires de phase représentées ne sontm anifestement pas elliptiques (elles ontune forme d’anneaudepatinage
de vitesse!):les petites oscillations ne sont pas harmoniques.
On peut vérifier que le développement de l’énergie potentielle
au voisinage de x =0,àl’ordre le plus bas non nul, est :
P (x)= k
.
Ce n’est pas une approximation parabolique, et le rappel exercé par les ressorts vers l’équilibre x =0 n’est pas linéaire.Les
points A 1 et A 2 sont des extremum de x ,les points A 3 et
A 4 sont des points où x s’annule.
c)Lacourbe correspondant à x(0) = 0,05 est elliptique (elle
semble circulaire) :les petites oscillations sont harmoniques.
En effet, quand a est différent de 1, le terme prépondérant
dansledéveloppementdel’énergie potentielle au voisinagede
0est en x 2 .Iln’existe pas ici de courbe frontière, car il n’y a
pas de position d’équilibre instable.
Étude de la suspension
d’un véhicule
D’aprèsMines d’Alès, Albi, Douai, Nantes, 2006.
1 • La route est parfaitementhorizontale :
1. Lorsque le véhicule est au repos, la force F
➞ est nulle.
z G eq est alors donné par : Mg
➞ – k(z G eq – R – 0 ) u
➞
z =0
➞
z G eq = 0 –+ R .
2. a) P
➞ =–Mg u
➞
z =–grad
— ➞ E p 1 E p 1 = Mgz en prenant l’origine de l’énergie potentielle en z G eq .
Mg
k
1
4
x 4
a 2
A 1
A 2
A 4
A 3
– 0,4
– 0,2
0
u
t
1,5 23 3,5 4
0,2
0,4
0,5 12 ,5
à t = 0, x = 0,5
x = 0
Solution de l’équation différentielle :
d
d
2
t 2
u
=–4π
2
u
1–
61
a
+u
2
avec a =1.
7
b) f
➞ =–k(z G –R– 0 )u
➞
z =–grad
— ➞ E p 2
E p 2 = k(z G – R – 0 ) 2 +cte.
z G – R – 0 = z + z G eq – R – 0 = z –.
On peut garder par exemple E p 2 = k z –
2
.
c)
++= F
➞
. v
➞
G v
➞
G = v u
➞
x + z · u
➞
z .
Soit
Mv
2 + Mz ·2
+ Mgz + k z –
2
= l(z · – z · 0 )z · .
La route étant horizontale, z · 0 =0.
Après simplification par z · ,onobtient :
Mz ·· + Mg + k z – =–lz · .
Mz ·· + lz · + kz =0.
avec Δ = l 2 –4kM.
2 • La route est ondulée :
1. l s’exprime en kg.s –1 .
2. La sinusoïde aune période spatiale L,donc elle s’exprime
en cos 2π .
Pour le véhicule, on a x = vt donc ω =, qui est bien en
s –1 .
3. Mz ·· + Mg + k(z G – z 0 – 0 )=–l(z · –z · 0 )
avec z G – z 0 – 0 = z – z 0 –.
4. Le régime transitoire tend rapidement vers une réponse
nulle du système. z(t)n ec omportera alors qu’une réponse à
l’excitation forcée de pulsation w contenue dans z 0 (t).
5. a) En utilisant la notation complexe, l’équation différentielle du mouvement donne :
(– Mw 2 + k + jlw)Z =(k+jlw)A.
Mg
k
2πv
L
x
L
D >O
D=O
t
z
D
z
Mg
k
Mg
k
1
2
d
dt
1
2
1
2
d
dt
dE p 2
dt
dE p 1
dt
dE C
dt
Mg
k
1
2
Mg
k
1
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
55
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
correspondent àune énergie totale du système inférieure à0.
La courbe (3) est en fait composée de deux trajectoires (deux
séparatrices), elles s’arrêtent àlaposition d’équilibre instable
(0 ,0).Elles correspondent àune énergie totale nulle.
La courbe (4) représente un mouvement périodique de grande
amplitude, non harmonique ;elle correspondàu ne énergie
totale positive et entoure les trois points singuliers.
b)L es trajectoires de phase représentées ne sontm anifestement pas elliptiques (elles ontune forme d’anneaudepatinage
de vitesse!):les petites oscillations ne sont pas harmoniques.
On peut vérifier que le développement de l’énergie potentielle
au voisinage de x =0,àl’ordre le plus bas non nul, est :
P (x)= k
.
Ce n’est pas une approximation parabolique, et le rappel exercé par les ressorts vers l’équilibre x =0 n’est pas linéaire.Les
points A 1 et A 2 sont des extremum de x ,les points A 3 et
A 4 sont des points où x s’annule.
c)Lacourbe correspondant à x(0) = 0,05 est elliptique (elle
semble circulaire) :les petites oscillations sont harmoniques.
En effet, quand a est différent de 1, le terme prépondérant
dansledéveloppementdel’énergie potentielle au voisinagede
0est en x 2 .Iln’existe pas ici de courbe frontière, car il n’y a
pas de position d’équilibre instable.
Étude de la suspension
d’un véhicule
D’aprèsMines d’Alès, Albi, Douai, Nantes, 2006.
1 • La route est parfaitementhorizontale :
1. Lorsque le véhicule est au repos, la force F
➞ est nulle.
z G eq est alors donné par : Mg
➞ – k(z G eq – R – 0 ) u
➞
z =0
➞
z G eq = 0 –+ R .
2. a) P
➞ =–Mg u
➞
z =–grad
— ➞ E p 1 E p 1 = Mgz en prenant l’origine de l’énergie potentielle en z G eq .
Mg
k
1
4
x 4
a 2
A 1
A 2
A 4
A 3
– 0,4
– 0,2
0
u
t
1,5 23 3,5 4
0,2
0,4
0,5 12 ,5
à t = 0, x = 0,5
x = 0
Solution de l’équation différentielle :
d
d
2
t 2
u
=–4π
2
u
1–
61
a
+u
2
avec a =1.
7
b) f
➞ =–k(z G –R– 0 )u
➞
z =–grad
— ➞ E p 2
E p 2 = k(z G – R – 0 ) 2 +cte.
z G – R – 0 = z + z G eq – R – 0 = z –.
On peut garder par exemple E p 2 = k z –
2
.
c)
++= F
➞
. v
➞
G v
➞
G = v u
➞
x + z · u
➞
z .
Soit
Mv
2 + Mz ·2
+ Mgz + k z –
2
= l(z · – z · 0 )z · .
La route étant horizontale, z · 0 =0.
Après simplification par z · ,onobtient :
Mz ·· + Mg + k z – =–lz · .
Mz ·· + lz · + kz =0.
avec Δ = l 2 –4kM.
2 • La route est ondulée :
1. l s’exprime en kg.s –1 .
2. La sinusoïde aune période spatiale L,donc elle s’exprime
en cos 2π .
Pour le véhicule, on a x = vt donc ω =, qui est bien en
s –1 .
3. Mz ·· + Mg + k(z G – z 0 – 0 )=–l(z · –z · 0 )
avec z G – z 0 – 0 = z – z 0 –.
4. Le régime transitoire tend rapidement vers une réponse
nulle du système. z(t)n ec omportera alors qu’une réponse à
l’excitation forcée de pulsation w contenue dans z 0 (t).
5. a) En utilisant la notation complexe, l’équation différentielle du mouvement donne :
(– Mw 2 + k + jlw)Z =(k+jlw)A.
Mg
k
2πv
L
x
L
D >O
D=O
t
z
D
z
Mg
k
Mg
k
1
2
d
dt
1
2
1
2
d
dt
dE p 2
dt
dE p 1
dt
dE C
dt
Mg
k
1
2
Mg
k
1
2
CORRIGÉS
Oscillateurs
4
55
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.